2D 사각형 채색 문제에 대한 상수 요인 근사 알고리즘이 있습니까?

여기서 고려할 문제는 잘 알려진 간격 채색 문제의 확장입니다. 간격 대신 축과 평행 한 변을 갖는 직사각형을 고려합니다. 두 개의 겹치는 사각형에 서로 다른 색이 할당되도록 최소 수의 색을 사용하여 사각형에 색을 지정하는 것이 목적입니다.

이 문제는 NP-hard로 알려져 있습니다. Xin Han, Kazuo Iwama, Rolf Klein 및 Andrezej Lingas (상자 그래프의 최대 독립 세트 및 최소 정점 색상 추정)는 O (log n) 근사값을 나타냅니다. 더 나은 근사 알고리즘이 있습니까?

우리는 간격 채색 문제가 왼쪽 끝점에 따라 간격을 고려하여 first-fit 알고리즘에 의해 다항식 시간에 해결된다는 것을 알고 있습니다. 그러나 간격이 임의의 순서로 표시되면 first-fit 온라인 알고리즘은 8 경쟁입니다.

사각형 색상 문제에 대한 1 차 적합 알고리즘의 성능은 무엇입니까? 직사각형이 왼쪽 (수직)면에 따라 나타날 때 알고리즘에 처음에는 어떻게됩니까?

이에 대한 도움을 주셔서 감사합니다.

다른 답변에서 제안했듯이 $\Omega(\log n)$ 하한은 너무 어렵지 않습니다. 수평선을 쓸어 넘겨 보자. 아이디어는 더 많은 수의 색상이 필요한 구성 요소를 만드는 것입니다. 특히, $C(i)$ 는 색상이 $i$ 상단 사각형이있는 가제트가되도록합니다 (즉, 첫 번째 맞춤은 색상 $i$ 지정합니다 ). 분명히 $C(1)$ 은 하나의 사각형 일뿐입니다. 성분 $C(2)$ 는

$C(k)$$C(1), \ldots, C(k-1)$

$k$$C(k)$$C(k)$$2$$C(k)$$2^{O(k)}$$\Omega( \log n )$ 간격 합니다.

$O( \log n)$

내가 아는 한 이것은 알려져 있지 않습니다. Asplund와 Grunbaum (1960 년)의 오래된 논문은 clique number가 2이면 색도는 최대 6 (이것은 엄격함)임을 보여줍니다. 나무는 직사각형의 교차 그래프로 표현 될 수 있고 나무는 모든 온라인 알고리즘에 의해 log n 색상이 필요하기 때문에 first-fit의 간격이 상수보다 큰 예제를 쉽게 제시 할 수 있다고 생각합니다.

나는 Asplund, Grunbaum 종이 또는 이후 논문에서도 직사각형 교차 그래프의 색도 수가 최대 O (k ^ 2)임을 보여주었습니다. 여기서 k는 최대 경사의 크기입니다. k 개 이상의 색상에서 선형 이상의 것을 요구하는 예.