멀티 컷 문제

12

이 문제에 대한 이름이나 참조를 찾고 있습니다.

가중 그래프가 주어지면 $G = (V, E, w)$ 는 최대 절단 모서리 값을 최대화하기 위해 $n = |V|$ 설정 합니다. $S_1,\ldots,S_n$

c (S_{1}, \dots, S_{n}) = \sum_{i \neq j} (\sum_{(u, v) \in E : u \in S_{i}, v \in S_{j}} w (u, v))

$c(S_1,\ldots,S_n) = \sum_{i \ne j}\left(\sum_{(u,v)\in E : u \in S_i, v \in S_j}w(u,v)\right)$ 일부 세트

S_{i}

$S_i$ 는 비어있을 수 있습니다. 따라서 문제는

k

$k$ 가 입력의 일부가 아니라는점을 제외하고 본질적으로 최대 k- 컷입니다. 알고리즘은절단 모서리 값을 최대화하기 위해원하는

선택할 수 있습니다

k

$k$ . 가장자리 가중치가 음이 아닌 경우 문제는 사소한 것입니다. 모든 정점을 자체 세트로만 배치하고 모든 모서리를 자릅니다. 그러나 재미있는 일을하기 위해, 음의 무게 가장자리가 허용됩니다.

이것이 연구 된 문제입니까? 알고리즘 또는 경도 결과에 대한 참조가 가능합니다!

— 아론 로스
소스

2

+ 1

$+1$

- 1

$-1$

G

$G$

\pm 1

$\pm 1$

11

문제는 상관 관계 클러스터링 (CC) Bansal, N., Blum, A. 및 Chawla, S. (2004)의 변형입니다. "상관 클러스터링". 머신 러닝 저널 (데이터 클러스터링의 이론적 발전에 관한 특별 문제, pp. 86–113, doi : 10.1023 / B : MACH.0000033116.57574.95.

$G$ $(v,w)$ $a(v,w)$ $b(v,w)$ $P$ $c_P(v,w)$ $a(v,w)$ $v$ $w$ $P$ $b(v,w)$ $P$ $V$ $\sum_{v,w} c(v,w)$

$a(v,w)=0$ $b(v,w)$ $O(\log n)$

설명 된 PTAS는 매끄러운 다항식 프로그래밍 기술을 기반으로합니다. 가장 일반적인 경우 귀하의 문제가 기술의 요구 사항을 충족시킬 것이라고 생각하지 않습니다.

— 지안루카 델라 베도 바
소스

18

나는 어떤 참조도 모르지만 그래프 채색의 감소를 통해 NP가 완전하다는 것을 보여줄 수 있습니다.

그래프 G와 G에 색을 입히는 여러 k의 색이 주어지면, 각각의 새로운 꼭짓점이 G의 모든 꼭짓점에 연결되도록 k 개의 새로운 꼭짓점과 함께 G로 구성된 새로운 그래프 G '를 만드십시오. k 개의 새로운 정점 중 2 개를 연결하는 각 모서리에 가중치 + kn, k 개의 새로운 정점을 G에 연결하는 각 모서리에 가중치 -1

그런 다음 G를 k- 색으로 채색 할 수있는 경우 (색상 중 하나에 각각의 새로운 정점을 할당하는 파티션과 함께) 채색은 총 중량 kn (m + k (k-1) / 2)-(k -1) n.

다른 방향으로,이 총 중량을 달성하는 파티션이 있으면 G의 모든 모서리와 새 정점 쌍 사이의 모든 모서리를 절단해야합니다. G의 모든 모서리를 절단하면 G의 색상이 정의되고 새로운 정점 쌍 사이의 절단 모서리는 G의 각 정점이 k 개의 새로운 정점 중 최대 하나에 인접 할 수 있음을 의미합니다. 따라서 가중치에서 최적의-(k-1) n 항을 얻으려면 G의 각 꼭짓점이 정확히 새로운 꼭짓점 중 하나에 인접 해 있어야합니다. 따라서 분할.

즉, 주어진 가중치가 지정된 파티션은 G의 k 색상과 1-1로 일치하므로 색상 문제에서 파티션 문제로의 감소를 정의합니다.

— 데이비드 엡스타인
소스

11

질문에 대한 의견에서 Jukka가 요청한 특수 사례에 대한 참조를 추가하여 David의 NP 완전성 증명을 보완하겠습니다. 그래프가 완전한 그래프이고 간선 가중치가 ± 1로 제한되면 문제는 클러스터 편집이라고하는 NP- 완전 문제와 같습니다.

클러스터 편집은 Shamir, Sharan 및 Tsur [SST04]가 도입 한 다음 문제입니다. 여기서, 클러스터 그래프 는 정점-절연 파편의 합집합 인 그래프이며, 편집 은 한 모서리의 추가 또는 제거입니다.

클러스터 편집
인스턴스 : 그래프 G = ( V , E ) 및 정수 k ∈ℕ.
질문 : 최대 k 개의 편집 으로 G 를 군집 그래프로 만들 수 있습니까?

클러스터 편집이 NP 완료되었습니다 [SST04].

클러스터 편집이 앞에서 언급 한 현재 문제의 특수한 경우와 동일하다는 것을 확인하려면 G = ( V , E )를 그래프로 사용하십시오. n = | V | 하자 완전한 그래프 K _n 의 하위 그래프로 G 를 고려하십시오 . K _n 에서는 가중치 -1을 G 의 모서리에 , 가중치 +1을 G가 아닌 모서리에 제공 합니다. 그런 다음 c ( S ₁ ,…, )와 같은 파티션 ( S ₁ ,…, S _n ) 이있는 경우에만 최대 k 편집 으로 G 를 군집 그래프로 만들 수 있습니다 .S _n ) ≥ − | 이 가중 완료 그래프 K _n에 대한 E | -k . $\binom{n}{2}$

[SST04] Ron Shamir, Roded Sharan 및 Dekel Tsur. 클러스터 그래프 수정 문제 이산 응용 수학 , 144 (1–2) : 173–182, 2004 년 11 월. http://dx.doi.org/10.1016/j.dam.2004.01.007

— 이토 츠요시
소스