PA와 일부 유형 이론의 상대 일관성

타입 이론의 경우 일관성에 따라 사람이 거주하지 않는 유형이 있음을 의미합니다. 람다 큐브의 강력한 정규화로부터 시스템 $F$ 와 시스템 $F_\omega$ 가 일치합니다. MLTT + 유도 형도 정규화 증명이 있습니다. 그러나 이것들은 PA 모델을 구성 할 수있을만큼 강력해야하며, 이는 PA가 이러한 이론과 일치 함을 증명합니다. 시스템 $F$ 는 매우 강력 하므로 교회 숫자를 사용하여 모델을 구성하여 PA의 일관성을 증명할 수있을 것으로 기대합니다. MLTT + IT는 자연수 유도 형이며 일관성도 입증해야합니다.

이것은 이러한 이론에 대한 정규화 증명이 PA에서 내재화 될 수 없음을 의미합니다. 그래서:

시스템 $F$ , 시스템 $F_\omega$ 및 MLTT + IT가 실제로 PA의 일관성을 증명할 수 있습니까?
가능하다면 시스템 $F$ , $F_\omega$ , MLTT + IT에 대한 정규화를 증명하기 위해 어떤 메타 데이터가 필요 합니까?
일반적으로 유형 이론의 증명 이론이나 이러한 유형 이론 중 일부에 대한 좋은 참고 자료가 있습니까?

type-theory proof-theory

— 피
소스

시스템 F에서는 교회 숫자에 대한 유도 원리를 얻지 못하므로 방정식에서 벗어날 수 있습니다.

— gallais

귀하의 질문 1에 대한 짧은 답변은 ' 아니요' 일 수도 있지만 미묘한 이유 일 수도 있습니다.

우선, 시스템 와 연산의 1 차 이론을 표현할 수 없습니다 , 그리고 더 적은 일관성 . $F$ $F_\omega$ $\mathrm{PA}$

둘째, 이것은 정말 놀라운 일이다, 실제로 이러한 시스템 모두의 일관성을 증명할 수 있습니다! 이것은 소위 증거와 무관 한 모델을 사용하여 수행되며 , 이는 유형을 세트 로 해석합니다 . 여기서 는 비어 있지 않은 유형의 주민을 나타내는 일부 더미 요소입니다. 그리고 하나의 동작에 대한 간단한 규칙을 작성할 수 있습니다 와 시스템에 대한 모델을 얻기 위해 오히려 쉽게 유형에 대한 에서 유형 는 로 해석됩니다. $\mathrm{PA}$ $\in\{\varnothing,\{\bullet\}\}$ $\bullet$ $\rightarrow$ $\forall$ $F$ $\forall X.X$ $\varnothing$ . 와 비슷한 일을 할 수 있으며 , 더 높은 종류의 함수를 유한 함수 공간으로 해석하기 위해 조금 더주의를 기울입니다. $F_\omega$

여기서 명백한 역설은 여기에있다 정상화 (나는 잠시 보여줄 것 같은)이 겉으로는 강력한 시스템의 일관성을 입증 할 수는 없지만. $\mathrm{PA}$

$p$ $\phi$ $p\Vdash \phi$ $\phi$ $p$ $p\not\Vdash\bot$

정리 : 가 2 차 산술 의 정리 인 경우 , 시스템 의 닫힌 용어 가 $\phi$ $\mathrm{PA}_2$ $t$ $F$
$t ⊩ ϕ$ $t\Vdash\phi$

이 이론은 입증 할 수있다 , 우리는 그래서 괴델의 주장이 적용되며 (그리고 시스템의 정상화 증명할 수 ). 역 함축도 마찬가지이므로 시스템 정규화를 증명하는 데 필요한 증명 이론 력을 정확하게 특성화 할 수 있습니다. $\mathrm{PA}$

P A ⊢ F is normalizing \Rightarrow {P A}_{2} is consistent

$\mathrm{PA}\vdash F\mbox{ is normalizing}\Rightarrow\mbox{$\mathrm{PA}_2$ is consistent}$

P A

$\mathrm{PA}$

F

$F$

F

$F$

시스템 와 비슷한 이야기가 있는데 , 이것은 더 높은 산술 합니다. $F_\omega$ $\mathrm{PA}_\omega$

마지막으로, 유도 성 유형의 까다로운 MLTT 사례가 있습니다. 여기서 다시 약간 미묘한 문제가 발생합니다. 확실히 여기서 우리는 의 일관성을 표현할 수 있으므로 문제가되지 않으며, 유형 이 적어도 2 개의 요소를 증명할 수 있으므로 증명과 관련이없는 모델은 없습니다 실제로 무한한 양의 별개의 요소). $\mathrm{PA}$ $\mathrm{Nat}$

그러나 우리는 고차 직관적 인 이론의 놀라운 사실에 : , 고차 버전의 Heyting Arithmetic은 보다 보수적입니다 ! 특히 일관성을 증명할 수 없습니다 ( 일관성과 동일 ). 직관적 인 함수 공간은 모든 정의 가능한 함수 이 계산 가능해야 하기 때문에 직관적 인 함수 공간으로 인해 의 임의의 하위 집합을 수량화 할 수 없기 때문 입니다. $\mathrm{HA}_\omega$ $\mathrm{HA}$ $\mathrm{PA}$ $\mathrm{HA}$ $\mathbb{N}$ $\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$

특히 유니버스없이 MLTT에 자연수 만 추가하면 일관성을 증명할 수 없다고 생각합니다 . 나는 우주 나 "강력한"유도 형 (서수형과 같은)을 추가하면 충분한 힘을 얻을 수 있다고 생각하지만, 이것에 대한 언급이 없다고 생각합니다. 유니버스를 사용하면 모델을 구축하기위한 이론을 충분히 설정 했으므로 논쟁은 매우 간단 해 보입니다 . $\mathrm{PA}$ $\mathrm{HA}$

마지막으로 타입 시스템의 증명 이론에 대한 참고 문헌 : 여기에 생각하는 문헌에 실제로 차이가 있으며, 나는이 모든 주제에 대한 깨끗한 치료를 원할 것입니다 (사실 언젠가는 직접 작성하는 것을 꿈꿉니다!). 그동안 :

증거와 관련이없는 모델은 여기 에서 Miquel과 Werner에 의해 설명 되지만, 그것은 건축의 미적분학을 위해 수행하지만 문제는 다소 복잡합니다.
현실성 논쟁은 지라드, 테일러 및 라 폰트 의 고전적인 증명 및 유형 에 스케치되어 있습니다. 나는 또한 그들이 관련성이없는 증명 모델과 많은 유용한 것들을 스케치한다고 생각합니다. 아마도 가장 먼저 읽은 참조 일 것입니다.
고차 Heyting 산술의 보수 론적 논증은 Troelstra & van Dalen의 수학의 구성론 의 두 번째 볼륨에서 찾을 수 있습니다 ( 여기 참조 ). 두 권 모두 매우 유익하지만 초보 IMHO에게는 읽기가 매우 어렵습니다. 또한 "현대"유형의 이론 주제를 다소 피할 수 있는데, 이는 책의 나이를 감안할 때 놀라운 일이 아닙니다.

의견의 또 다른 질문은 MLTT + Inductives의 정확한 일관성 강도 / 정규화 강도에 관한 것입니다. 나는 여기에 정확한 답이 없지만 확실히 대답은 우주의 수와 허용되는 유도 가족의 성격에 달려 있습니다. Rathjen은 우수한 논문 Martin-Lof Type 이론의 강점 에서이 질문을 탐구합니다 .

WRT 정규화의 기본 아이디어는 2 개의 이론 및 에 대해 $\cal{T}$ $\cal{U}$

P A ⊢ C o n (T) \Rightarrow C o n (U)

$\mathrm{PA}\vdash\mathrm{Con}(\cal{T})\Rightarrow\mathrm{Con}(\cal{U})$

그런 다음 일반적으로

P A ⊢ 1- C o n (T) \Rightarrow N o r m (U)

$\mathrm{PA}\vdash \mbox{1-$\mathrm{Con}$}(\cal{T})\Rightarrow\mathrm{Norm}(\cal{U})$

여기서 1- 은 1 일관성 이며 은 정규화입니다. $\mathrm{Con}$ $\mathrm{Norm}$

MLTT + 자연수 유형 (및 재귀)은 의 보수적 인 확장으로 , 구성 집합 이론에 대한 Besson 재귀 모델 에서 입증되었습니다 . $\mathrm{HA}_\omega$

유도 재귀 또는 유도 유도가있는 MLTT까지는 상황이 무엇인지 알지 못하며 AFAIK는 정확한 일관성 강도 문제가 여전히 열려 있습니다.

— 코디
소스

어떤 의미에서 시스템 F는 매우 약한 이론이지만 증명하기 위해 매우 강력한 이론이 필요한 조합 문제가 있습니까? 이 경우 증명 이론적 서수를 알 수 없으며 보다 작아서 링크 된 질문과 모순 되지 않아야 합니까?

ϵ_{0}

$\epsilon_0$

— 19:43에

만약이 "읽어야 다음 정상화이다 ?

p

$p$

p ⊮ \emptyset

$p\not\Vdash\emptyset$

— fhyve

" 모든 함수 는 계산 가능 해야 함 "을 의미하는 이유는 무엇 입니까? 확실히, 집합 이론적 모델을 고려하지 마십시오.

{H A}_{ω}

$\mathrm{HA}_\omega$

— Andrej Bauer

@AndrejBauer 확실히 내에 존재하는 것으로 입증 될 수있는 모든 함수 는 계산 가능합니다 ( "외부"에서). 물론, "내부"에서, 더 재미있는 공리가 추가되지 않는 한 계산 불가능한 기능이 있다고 가정하는 것이 일관됩니다.

N \to N

$\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$

{H A}_{ω}

$\mathrm{HA}_\omega$

— 코디

그런 다음 " 정의 가능한 함수 는 계산 가능" 과 같은 내용을 말해야합니다 . "계산 가능해야한다"는 말은 적어도 오해의 소지가 있습니다.

{H A}_{ω}

$\mathrm{HA}_\omega$

— Andrej Bauer