무한 서수를 유도하여 시스템 F의 정규화가 약함을 증명할 수 있습니까?

단순형 람다 미적분학에 대한 약한 정규화는 에 대한 유도에 의해 증명 될 수있다 (튜링) . 자연수 (Gentzen)에 재귀가있는 확장 된 람다 미적분은 ϵ 0 에 유도하여 정규화 전략이 약 합니다.$\omega^2$$\epsilon_0$

시스템 F (또는 약한)는 어떻습니까? 이 스타일에 약한 정규화 증명이 있습니까? 그렇지 않다면 전혀 할 수 있습니까?

건설 증명 이론 (건설 서수 이론과 밀접한 관련이 있음)과 2 차 불완전 산술 (Ulrik 지적한 바와 같이 시스템 F와 강도가 동일 함) 사이의 관계에 대한 가장 포괄적 인 조사는 Girard (1989)입니다. 그곳에서 그는 내가 따르지 않는 그의 확장기 이론 (1981)을 기반으로하지만, 본질적으로 고차 스 콜레 마이 제이션에 대한 비 구조적인 이론을 제공한다고 생각합니다.

내 이해는 주교 -Martin-Löf 의미에서 공식을 건설적으로 표현할 수 없다는 것입니다 . 왜냐하면 그것들은 어떤 종류의 1 차 유도 체계를 추가하여 제거 할 수없는 방식이기 때문에 비난 적이기 때문입니다.$\Sigma^1_2$

나는 서수 이론가에게 당신이 다형성 람다 미적분학을 기반으로 한 유형 이론에서 전제 론적 구성주의를 토대 할 수 있다고 명시 하고 시스템 F에 대한 지라드 SN 증거의 축소 후보 기술을 사용하여 합리적인 총 질서를 부과 할 수 있다고 제안한 것을 기억 합니다. 당신이 이것으로부터 얻은 등가 클래스를 서수라고 부르는 건축의 우주; 그는 내가 지적한 것을 당신이 그 일을 할 수 있다고 말하면서 지적했지만, 정직한 수고보다는 도둑질의 모든 장점을 가질 것입니다. 그것을 작동시키기 위해서는 그러한 서 수가 존재한다는 이론을 입증 할 수있을만큼 충분하지 않으며, 순서에 대한 구조적 구조의 증거가 필요합니다.

요약하자면, 주교-마틴-로프 (Martin-Löf)에 의한 직관 론적 건축이라는 개념에 대해, 내가 아는 문헌은 그렇지 않다는 것을 강력히 암시합니다. 만약 당신이 정직한 수고에 반대하고 욕설적인 구성주의를 포용한다면, 아마도 추측 할 수있을 것입니다. 당연히, 시스템 F가 필요한 삼 절제술을 건설적으로 증명할 수있는 더 강력한 이론이 필요하지만, 유도 건축의 미적분학은 명백한 후보를 제공합니다.

참고 문헌

1. Girard, Jean-Yves (1981), -logic. I. 확장기, 수학적 논리 21 (2) : 75–219.$\Pi^1_2$
2. 지라드 (1989) Proof Theory and Logical Complexity, vol. 나 , 나폴리 : Bibliopolis. 볼륨 II가 없습니다.

매우 어리석은 방식으로, 합리적인 시스템에 대한 약한 정규화는 건설적인 서수에 대한 유도에 의해 증명 될 수 있습니다. 실제로, 시스템 F가 약한 정규화를 갖는다는 진술은 산술적으로 문장 으로 공식화 될 수 있으며, 따라서 높이 ω 2 의 자연스럽지 않은 건설적 서수 표기법을 따라 무한 유도에 의해 증명 될 수있다 (사실이므로) . ( 이 순서가 어떻게 작동하는지 수학 스택 교환 에서이 질문 을 참조하십시오 .)$\Pi^0_2$$\omega^2$

$\varepsilon_0$$\Gamma_0$

언젠가 누군가가 모두 동의 할 것이라는 2 차 산술에 대한 서수 표기법을 찾게 되길 바랍니다. 그러면 시스템 F의 정규화를 약화시키기 위해 정직하게 사용할 수 있습니다.

$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

더욱이, 나는 2 차 산술이 상당히 강하고 아직 "증가 이론적 서수"로 알려진 건설적인 상한이 없다고 생각합니다 ( 서수 분석의 기술, 섹션 3 ).

나는이 건설적인 서수 한계가 당신이 요구하는 유도를 수행하는 데 필요한 것이라고 생각합니다.