PPAD는 다른 불균형 정점을 찾는 개념을 실제로 포착합니까?

복잡성 등급 PPAD 는 Christos Papadimitriou가 그의 1994 년 논문 에서 발명했습니다 . 이 클래스는 "유향 그래프의 패리티 인수"에 의해 솔루션의 존재가 보장되는 검색 문제의 복잡성을 포착하도록 설계되었습니다. 유향 그래프에 불균형 정점이 있으면 다른 것이 있어야합니다. 그러나 일반적으로 클래스는 공식적으로 $\mathsf{ANOTHER\ END\ OF\ THE\ LINE}$ ( $\mathsf{AEOL}$) 문제, 인수가 그래프에만 적용됩니다 $\le 1$. 내 질문은이 개념들이 왜 동등한가?

지금까지는 이 질문과 중복 됩니다. 이제 공식적으로 문제를 진술하고 거기에 대한 답변에 만족하지 않는 이유를 분명히하고 싶습니다.

탐색 문제 $\mathsf{ANOTHER\ UNBALANCED\ VERTEX}$ ( $\mathsf{AUV}$ ) : x ∈ { 0 , 1 을 얻는 2 개의 다항식 크기의 회로 $S$ 와 가 주어진다 } n 이고 { 0 , 1 } n 에 다른 요소의 다항식 목록을 반환합니다 . 이 회로는 유 방향 그래프를 정의합니다.$P$$x\in\{0,1\}^n$$\{0,1\}^n$$G=(V,E)$ 여기서$V=\{0,1\}^n$ 및$(x,y)\in E\Leftrightarrow (y\in S(x)\land x\in P(y))$ . 검색 문제는 다음과 같습니다. 주어진$S$ ,$P$ 및$z\in V$ 이므로$indegree(z)\ne outdegree(z)$ 동일한 특성을 가진 다른 정점을 찾기.

검색 문제 $\mathsf{AEOL}$ : 동일하지만 $S$ 와 모두 $P$빈 목록 또는 하나의 요소를 반환합니다.

환원의 개념은 (리키의 제안에 따라 보정) : 총 탐색 문제 $A$ 총 검색 문제에 환원 인 $B$ 다항식 함수를 통해 $f$ 과 $g$ 경우 $y$ 에 해결책 $f(x)$ 문제에 $B$ 함축 $g(x,y)$ 되고 문제 A의 $x$ 에 대한 해결책 . $A$

공식적인 질문 : 왜 $\mathsf{AUV}$ 가 환원 될 수 $\mathsf{AEOL}$있습니까? 아니면 또 다른 환원성 개념을 사용해야합니까?

Christos Papadimitriou는 PPA 에 대한 유사한 이론을 증명 하지만 (505 페이지 정리 1) 논증은 PPAD 에는 효과가없는 것으로 보인다 . 그 이유는도 균형 정점이다 로 변환 될 k 값 도 균형 정점 ± 1 . 그런 다음 A E O L에 대한 알고리즘 은 이러한 정점 중 하나를 가져 와서 다른 정점을 반환 할 수 있습니다. 이것은 A U V에 대한 새로운 정점을 생성하지 않습니다 .$\pm k$$k$$\pm1$$\mathsf{AEOL}$$\mathsf{AUV}$

에서는 항상 짝수의 불균형 정점이 있기 때문에 상황이 악화되고 있지만 A U V 에서는 홀수입니다. 그렇기 때문에이 두 세트 사이에 약탈을 만들 수없고 g 가 항상 f − 1 과 같을 수는 없습니다 . 경우 g ( X , F ( X ) ) ≠ X 우리가 해결 방법 얻었다 U V가 어떤 경우에 대해 적어도 다항식 시간 내에있다. 경우 g가 에 의존하지 않는 X 및$\mathsf{AEOL}$$\mathsf{AUV}$$g$$f^{-1}$$g(x,f(x))\ne x$$\mathsf{AUV}$$g$$x$y 1 ≠ y 2에 대해 g ( y 1 ) = g ( y 2 ) 인 경우 y 2 는 y 1에 대한 답변으로 반환 될 수 있습니다. 그것은 A U V를 위한 해결책을주지 않을 것입니다.$g(y_1)=g(y_2)$$y_1\ne y_2$$y_2$$y_1$$\mathsf{AUV}$

마지막 질문 : 위에 나열된 장애물을 어떻게 든 극복 할 수 있습니까? 하나의 가능한 의존도 고용 할 수 에 X를 ?$g$$x$

문제는 동등한 것으로 판명되었으며 (따라서 PPAD- 완전), Hair Wball의 8 장은 Paul W. Goldberg와 Alexandros Hollender의 PPAD- 완료를 참조하십시오 .

이것은 흥미로운 질문이며 부분적으로 만 대답 할 수 있습니다.

p.의 구성을 쉽게 볼 수 있습니다. Papadimitriou의 논문 505는 AUV 와 특별한 경우를 보여줍니다.

라인 MANY 종료한다 (MEOL)는 : 방향성 그래프 주어 와도 내 및도 많아야 1 (상기와 같은 회로에 의해 표시), 및 비어 있지 않은 세트 X 의 소스 G , 싱크 또는 소스 발견 절 ∉ X .$G$$1$$X$$G$$v\notin X$

한편으로, 나는 더 많은 수의 소스를 하나로 줄일 수있는 그러한 그래프의 변환을 상상하기 어렵다는 것을 안다.

그러나 다른 한편으로는, MEOL가 포함 된 모든 일반적으로 연구 클래스에 속하는 PPAD을 가능하게 제외 PPAD 자체 :

먼저, 분명히

MEOL 이 PPADS에 있습니다.

아래의 논증을 스케치하겠습니다

MEOL 은 PPA에 있습니다

표준 PPA 완료 문제 (무 방향 버전의 AEOL ) 로 줄임 . MEOL 정의 에서처럼 및 X 가 주어 졌다고 가정하십시오 .$G=(V,E)$$X$

경우 홀수입니다. 그래프를 무 방향으로 만들 수 있고, X 에서 하나의 꼭짓점에 대한 매칭을 포함하고 (P. 505의 ​​인수에서와 같이), 나머지 소스와 함께 결과를 X 에서 PPA 오라클로 전달할 수 있습니다 .$|X|$$X$$X$

$s=|X|$$2^k$$2$$s$$G'=(V',E')$$2^k$$V$$A,B\in V'$$(A,B)$$E'$$A=\{a_0,\dots,a_{2^k-1}\}$$B=\{b_0,\dots,b_{2^k-1}\}$$(a_i,b_i)\in E$$i<2^k$

$G'$$1$$A\in V'$$G$$A$$A\cap X\ne\varnothing$$1$

$A$$t=|A\cap X|$$0<t\le2^k$$t=2^k=|A|$$A\subseteq X$$\binom{s}{2^k}$$p$$\binom ab$$b+(a-b)=a$$p$$k$, 그 다음 홀수이다. 더욱이, 과 의 요소 서브 세트 사이에는 다항식 시간이 있습니다 . 이를 사용하여 의 요소 하위 집합 중 하나를 제외한 다항식 시간 일치를 정의 할 수 있습니다 . 그래프에 포함 시키면 인 알려진 소스의 수 를 입니다.$\binom{s}{2^k}$$[0,\binom ab)$$b$$[0,a)$$2^k$$X$$t=2^k$$1$

를 들어 , 캐리 계산 화학식 쇼 것을 짝수이다. 다시, 우리는 요소 서브 세트 에서 명시 적으로 일치하는 것을 찾을 수 있습니다 . 우리는 알려진 소스로 확장 와 로 매칭을 적용하여 및 떠나 고정.$0<t<2^k$ tXA| ∩X| =tA∩XA∖$\binom st$$t$$X$$A$$|A\cap X|=t$$A\cap X$$A\smallsetminus X$

이런 식으로, 우리는 하나의 알려진 리프 정점을 가진 무 방향 그래프를 생성합니다. 우리는 PPA 오라클에 다른 리프를 요청하고 구성에 의해 MEOL 인스턴스에 대한 답변을 추출 할 수 있습니다 .

간단히 파파 디미트리 오우로 언급 한 바와 같이, 우리는 일반화 할 수 PPA를 클래스에 PPA - 어떤 소수를위한 . (A)의 예 PPA - 전체 문제p $p$$p$$p$

AUV - : 유향 그래프 와 정도 균형이 인 정점이 주어지면 다른 정점을 찾으십시오.$p$$G$${}\not\equiv0\pmod p$

( APA - 와 Papadimitriou의 PPA - 정의에 해당하는 내용은 이 답변 을 참조하십시오 .)$p$$p$

PPA - 는 단지 PPA 입니다. PPA - 클래스 는 쌍으로 비교할 수 없고 PPADS 와 비교할 수없는 것으로 가정합니다 . 그들은 모두 PPAD를 포함 합니다 .$2$$p$

위에서 설명한 인수에서 에 대해 특별한 점은 없었 으며 쉽게 수정할 수 있습니다.$p=2$

MEOL 은 모든 프라임 대해 PPA - 에 있습니다.$p$$p$