주어진 정점 쌍 사이의 최대 거리를 줄이려면 해밀턴 경로에 일치 항목을 추가하십시오.

다음 문제의 복잡성은 무엇입니까?

입력 :

• 해밀턴 경로에서 K의 N$H$$K_n$
• 정점 쌍의 서브 세트$R \subseteq [n]^2$
• 양의 정수 $k$

쿼리 : 모든 ( v , u ) ∈ R , d G ( v , u ) ≤ k에 대해 일치하는 있습니까? (여기서, G = ( [ N ] , M ∪ H ) )$M$$(v,u) \in R$$d_G(v,u) \leq k$
$G = ([n], M\cup H)$

나는이 문제에 대해 친구와 토론하고 있습니다. 내 친구는 문제가 다항식 시간에 있다고 생각합니다. NP- 완전하다고 생각합니다.

이 답변은 잘못되었습니다 .

당신의 친구가 옳습니다. Sasho가 해석 한 문제는 일치하는 의 카디널리티를 제한하지 않습니다 . 따라서 R 의 쌍 사이에서 일치 하도록 C 를 선택하십시오 . 그런 다음 양의 정수 k 에 대해 R의 모든 쌍 사이의 거리는 k 보다 작습니다 .$C$$C$$R$$k$$R$$k$

경로에 일치하는 와 경로 P 의 모서리가 모두 포함되도록하면 문제가 흥미로워집니다 .$C$$P$

업데이트 : 해밀턴 경로가 아닌 임의의 그래프에 있다고 잘못 가정했기 때문에 아래의 대답은 정확하지 않습니다 . 삭제하지 않은 채로 두어 해결할 수 있거나 다른 대답에 대한 힌트를 줄 수 있습니다.$K_n$

NP- 완전하다고 생각합니다. 이것은 3SAT의 비공식 / 빠른 축소 아이디어입니다.

모든 변수의 에 "변수 가제트"를 추가 :$x_i$

• 세 개의 노드 $X_i, +X_i, -X_i$
• 두 개의 가변 모서리 및 ( X i , − $(X_i,+X_i)$$(X_i,-X_i)$

소스 노드 추가하고 모든 변수 X에 연결$S$.$X_i$

각 절 들어 노드 추가 C의 J를 대응하는 변수와 연결 + X I 또는 - X 나 그 형태 절.$C_j$$C_j$$+X_i$$-X_i$

다음 그림은 ( + x 1 ∨ − x 2 ∨ − x 3 ) ∧ ( − x 2 ∨ x 3 ∨ x 4 )를 나타냅니다.$(+x_1 \lor -x_2 \lor -x_3) \land (-x_2 \lor x_3 \lor x_4)$

세트 (연결되어야 노드)를 포함 ( S , C (1) ) , ( S , C (2) ) , . . $R$$(S, C_1), (S,C_2), ...$

간단한 경로 모두 "BLUE"가변 에지를 제외한 에지 포함한다 ( X 나 , + X I ) 및 ( X I , - X I ) (청색 에지 위의 그림은 우리가 포함하는 엣지 나타내는에서 P를 ).$P$$(X_i, +X_i)$$(X_i, -X_i)$$P$

이때, 초기 수식 경우에만 최단 경로 인 경우 만족할 각 절 노드에 C의 j는 이고 크지 세 이상. 실제로 3 단계 로 S 의 절에 도달 하려면 하나 이상의 변수 X i를 통과해야합니다 . S → X i → ± X i → C j . 우리는 두 개의 모서리 중 하나를 통과해야한다 그래서 : X의 난 → + X I 또는 X 전 → - X I ) 및 포함 그것에 $S$$C_j$$S$$X_i$$S \to X_i \to \pm X_i \to C_j$$X_i \to +X_i$$X_i \to -X_i)$$C$ (구성 상 P의 일부가 아니기 때문에$P$ ). 그러나 정점을 공유하기 때문에 둘 다 포함 할 수 없습니다.

$P$

$P$$C$

원본 그래프는 다음과 같습니다.

$K$$C_j$$S$

포함 할 수있다$C$ 그들은 더 정점을 공유하지 않기 때문에 절 노드에 도달하는 데 필요한 모서리 필요한 모든 (파란색되지 않음).

$P$