형식화되지 않은 λ- 미적분학에서 가장 안쪽 감소가 영구적입니까?

(나는 이미 MathOverflow에서 이것을 요청했지만 거기에 답이 없습니다.)

배경

형식화되지 않은 람다 계산법에서, 용어 하나 (예 격렬하게 다른 결과를 생성 할 수있다 감소할지에 대한 많은 redexes, 다른 선택을 포함 할 수있다 $(\lambda x.y)((\lambda x.xx)\lambda x.xx)$ 되는 한 단계 ( $\beta$ )는 $y$ 또는 그 자체로 감소합니다 . 축소 할 위치에 대한 다양한 (순서) 선택을 축소 전략 이라고 합니다. 용어의 $t$ 것으로 알려져 정상화 제공 감소 전략이 존재하는 경우 $t$ 정상적인 형태로. 용어 $t$ 는 모든 축소 전략이 를 정규 형태 로 만들면 강하게 정규화 되는 것으로 알려져 있습니다 . (나는 어느 것에 대해 걱정하지 않지만 합류는 하나 이상의 가능성을 보장하지 않습니다.) $t$

가 정상적인 형태를 가질 때마다 그것이 바로 끝나게 될 경우 축소 전략은 정상화 되고 어떤 의미에서는 최선 의 방법이라고합니다. 가장 왼쪽에있는 전략은 정규화입니다. $t$

스펙트럼의 다른 쪽 끝 에서, 용어 에서 무한한 감소 시퀀스가있을 때마다 전략이 그러한 시퀀스를 찾는 다면 , 감소 전략은 영구적 이며 (어떤 의미에서는 최악의 경우도 가능합니다) 우리는 아마도 정상화에 실패 할 수 있습니다. $t$

I는 영구 감소 전략 알고 와 로 각각 주어진다 : $F_\infty$ $F_{bk}$ 및

\begin{array}{ll} {에프}_{비 케이} (씨 [(λ 엑스 . 에스) 티]) = 씨 [에스 [티 / 엑스]] & 만약 티 강하게 정상화되고있다 \\ {에프}_{비 케이} (씨 [(λ 엑스 . 에스) 티]) = 씨 [(λ 엑스 . 에스) {에프}_{비 케이} (티)] & 그렇지 않으면 \end{array}

$\begin{array}{ll} F_{bk}(C[(\lambda x.s)t])=C[s[t/x]] & \text{if $t$ is strongly normalizing} \\ F_{bk}(C[(\lambda x.s)t])=C[(\lambda x.s)F_{bk}(t)] & \text{otherwise} \end{array}$

(두 경우 모두 표시된

레 덱스는

-및 일반 형태에서가장 왼쪽에있음

감소 전략은 반드시 동일해야한다.) 전략

는 심지어최대이다. 만약 그것이 정규성이라면, 가능한 가장 긴 감소 순서를 사용했다. (Barendregt의 책에서 13.4 참조)

\begin{array}{ll} {에프}_{\infty} (씨 [(λ 엑스 . 에스) 티]) = 씨 [에스 [티 / 엑스]] & 만약 엑스 ~에서 발생하다 에스 또는 티 정상적인 형태이다 \\ {에프}_{\infty} (씨 [(λ 엑스 . 에스) 티]) = 씨 [(λ 엑스 . 에스) {에프}_{\infty} (티)] & 그렇지 않으면 \end{array}

$\begin{array}{ll} F_\infty(C[(\lambda x.s)t])=C[s[t/x]] & \text{if $x$ occurs in $s$, or if $t$ is on normal form} \\ F_\infty(C[(\lambda x.s)t])=C[(\lambda x.s)F_\infty(t)] & \text{otherwise} \end{array}$

β

$\beta$

C [(λ x . s) t]

$C[(\lambda x.s)t]$

F_{\infty}

$F_\infty$

가장 왼쪽에서 가장 안쪽에있는 축소 전략을 고려하십시오 . 비공식적으로, 그것은 다른 redexes를 포함하지 않는 redex 만을 줄 입니다. 더 형식적으로, 그것에서 정의되는 $\beta$

\begin{array}{ll} 엘 (티) = 티 & 만약 티 정상적인 형태로 \\ 엘 (λ 엑스 . 에스) = λ 엑스 . 엘 (에스) & ...에 대한 에스 정상적인 형태가 아님 \\ 엘 (에스 티) = 엘 (에스) 티 & ...에 대한 에스 정상적인 형태가 아님 \\ 엘 (에스 티) = 에스 엘 (티) & 만약 에스, 하지만 티 정상적인 형태이다 \\ 엘 ((λ 엑스 . 에스) 티) = 에스 [티 / 엑스] & 만약 에스, 티 둘 다 정상적인 형태 \end{array}

$\begin{array}{ll} L(t) = t &\text{if $t$ on normal form}\\ L(\lambda x.s) = \lambda x. L(s) &\text{for $s$ not on normal form}\\ L(st) = L(s)t &\text{for $s$ not on normal form}\\ L(st) = s L(t) &\text{if $s$, but not $t$ is on normal form}\\ L((\lambda x. s)t) = s[t/x] &\text{if $s$, $t$ both on normal form} \end{array}$

가장 왼쪽에서 가장 안쪽으로 축소하는 자연스러운 직관은 모든 작업을 수행한다는 것입니다. 해당 전략은 (유형화되지 않은) 조합 논리에 대해 영구적이므로 (가장 작은 감소는 모든 직교 TRW에 대해 영구적 인 것이기 때문에), 이것은 완벽하게 수정되지 않은 파란 눈의 낙관론처럼 느껴지지 않습니다 ...

가장 왼쪽 가장 안쪽에 축소는 유형이 지정되지 않은 영구 전략입니다. $\lambda$

대답이 '아니오'로 판명되면 반례에 대한 포인터도 매우 흥미로울 것입니다.

— 코우
소스

MO의 크로스 포스트 .

— Hsien-Chih Chang 張顯之

... 첫 번째 줄에서 언급했듯이.

— kow

@ kow : 그렇습니다. 교차 게시에는 아무런 문제가 없습니다. :) 이중 답변을 방지하기 위해 MO의 의견과 답변을 모두 따르는 것이 좋습니다. 메타에 대한 토론을 참조하십시오 .

— Hsien-Chih Chang 張顯之

@kow : 다음에 질문을 크로스 포스트 할 때, 바람직하게 양방향으로 링크를 추가하는 것을 잊지 마십시오.

— 이토 쓰요시

L (L (s) t)

$L(L(s)t)$

s

$s$

L (s)

$L(s)$

L (L (s))

$L(L(s))$

$tt$ $t=(\lambda x. (\lambda y.1) (x x))$ $L$ 무한 감소하더라도 한다고 생각합니다.

$L(tt)=L(t)t=L(\lambda x.(\lambda y.1) (x x))t=(\lambda x.L((\lambda y.1) (x x)))t=(\lambda x.1)t$

$F_\infty$ $F_\infty([(\lambda x.(\lambda y.1 (x x))) t]))=(\lambda y.1) (tt)$

— 라두 GRIGore
소스