램지 정리의 확장 : 단색이지만 다양 함

Hsien-Chih Chang에 의해 해결 된 나의 이전 질문에 대한 후속 조치로서, Ramsey 정리의 적절한 일반화를 찾기위한 또 다른 시도가 있습니다. (이전 질문을 읽을 필요는 없습니다.이 게시물은 독립적입니다.)

매개 변수 : 정수 이 주어진 다음 이 충분히 크게 선택됩니다. 용어 : -subset은 크기의 부분 집합입니다 .$1 \ll d \ll k \ll n$$N$$m$$m$

이라고하자 . 각 subset 에 대해 색상 .$B = \{1,2,...,N\}$$k$$S \subset B$$f(S) \in \{0,1\}$

정의 :

• $X \subset B$ 인 단색 의 경우 에 대한 모든 -subsets 와 .$f(S) = f(S')$$k$$S \subset X$$S' \subset X$
• $X \subset B$ 이면 는 다양 하므로 및 모든 I .$X = \{ x_1, x_2, ..., x_n \}$$x_i < x_{i+1}$$x_i\,\not\equiv x_{i+1} \text{ mod } d$$i$

예를 들어, $d = 10$ 이면 $\{ 12, 15, 23, 32, 39 \}$ 는 다양하지만 $\{ 12, 15, 25, 32, 39 \}$ 는 다릅니다. 다양한 집합의 하위 집합이 반드시 다양 할 필요는 없습니다.

이제 Ramsey의 정리에 따르면 f를 어떻게 선택하더라도 $f$단색 $n$ subset $X \subset B$ 있습니다. 그리고 다양한 $n$ subset X \ subset B 를 찾는 것은 사소한 일 $X \subset B$입니다.

질문 : 항상 다양한 단색 $n$ subset $X \subset B$ 있습니까?

편집 : 시엔 - 친 장 쇼는 주장은 소수에 대한 거짓임을 ,하지만 합성에 대해 ? 내 응용 프로그램에서는 임의로 큰 값을 만들 수있는 한 의 정확한 값을 자유롭게 선택할 수 있습니다. 그것들은 소수의 제곱, 소수의 곱 또는 주장을 사실로 만드는 데 필요한 모든 것이 될 수 있습니다.$d$$d$$d \ll k \ll n$

먼저 말해야합니다 :이 문제는 정말 흥미 롭습니다! 여기 에 잘못된 답변에 대한 이 메타 게시물 에서 제안한 것처럼 이전 접근법이 실패한 이유를 간단히 설명 합니다.

• 첫 번째 시도는 k-subset의 sumset과 관련된 채색을 구성하여 모든 n-subset을 단색으로 만듭니다. Lemma 1은 여전히 ​​사용 가능합니다. 그러나 Lemma 2는 k와 d가 소수 인 경우 @Jukka가 제안한 d 모듈 의 n-subset 가 반례임을 관찰함으로써 잘못되었습니다.$\{1,3,1,3, \ldots\}$

• 두 번째 시도는 정리에 대한 증거였습니다. 다양하고 단색 인 서브 세트 의 비율을 세면 단색 인 것의 수가 비 다양한 것보다 더 많기를 바랍니다. 그러나 @domotorp에 의해 관찰 된 내 계산의 오류입니다. 다양하지 않은 비율은 0에 도달하지 않습니다. 약 수렴하며 이는 보다 분명히 큽니다 .$n$$n/d$$R(n,n;k)^{-n}$

• 세 번째 방법은 첫 번째 방법으로 돌아가고, 약한 매개 변수 집합 ( 및 )에 대한 정리가 거짓임을 보여줍니다. 우리는 EGZ- 정리와 같은 추가 조합론에서 유명한 음모를 사용했습니다.$n > k+d-1$$d \mid k$

네 번째 시도는 @domotorp 의 답변 때문입니다. 그것은 영리하고 고무적이며 모든 매개 변수를 처리하기 위해 그의 증거를 수정하려고합니다. 그러나 여전히 그의 방법은 우아 하며이 간단한 접근법에 전적으로 감사합니다.

다양한 n- 세트는 적어도 "mod 클래스 간 스위치"를 갖는 적어도 하나의 k- 서브셋을 포함하고 ; 정확하게하게 될 다양한 N-세트 및하자 하는 스위치는 경우에 정의 및 다양한 개조-D에 클래스. 용 k-1 스위치가 있습니다.$k-1$$X = x_1,\ldots,x_n$$S^* = x_1,\ldots,x_k$$x_i$$x_{i+1}$$S^*$

에 최대 k-2 스위치가 있으면 k-subset 를 빨간색으로 만듭니다. 그렇지 않으면 파란색 입니다. 이전 단락에서 우리는 이미 파란색을 가졌으므로 이제 경우 n 세트 에 빨간색 가 있음을 증명합니다 . 이므로 동일한 mod-d 클래스와 두 개의 숫자 가 있습니다 . 이후 , K-2 이상의 원소로 존재 에서 와 또는 . k-subset 를 만들 수 있습니다$S$$S$$n > k+d+1$$S$$X$$n > d$$x_i,x_j$$j-i \leq d-1$$n > k+d+1$$x_k$$X$$k<i$$k>j$$S$$x_i$최대 k-2 번만 전환되는 옆에 있습니다. 따라서 는 빨간색 k-subset입니다.$x_j$$S$

나는 당신의 질문을 오해했을 수도 있지만, 그렇지 않다면 그것이 틀렸다고 생각합니다. 멤버가 모두 일치하는 모듈로의 k- 세트를 빨간색으로 색칠하고 다른 k- 세트는 파란색으로 채색합니다. n> kd이면, 임의의 n- 세트는 구성원이 모두 합동 모듈로 d이고 따라서 적색 인 k- 세트를 포함해야한다. 반면에 k- 세트에 다양한 n- 세트의 연속 된 두 요소가 포함되어 있으면 파란색입니다.