명시 적 균형 매트릭스

모든 서브 매트릭스에 미만을 포함 하도록 로 명시 적 -matrix 를 빌드 할 수 있습니까? $N \times N$ $0/1$ $N^{1.5}$ $N^{0.499} \times N^{0.499}$ $N^{0.501}$

또는 그러한 속성에 대해 명시적인 타격 세트를 구축 할 수도 있습니다.

랜덤 행렬은 확률 적으로 지수에 가까운이 속성을 가짐을 쉽게 알 수 있습니다 . 또한, 익스팬더 혼합 보조는이 특성을 도출하기에 충분하지 않습니다. $1$

바보 조합 사각형이 여기에 도움이 될 수있는 의사 난수 생성기를 추측하지만 균일 한 분포를 위해 설계되었으며 기본적으로 여기에는 합니다. $B(N^2, N^{-0.5})$

— 일리 아즈
소스

흥미로운 질문입니다. 동기 부여가 궁금합니다.

— Suresh Venkat

@Suresh 상호 정보의 양적 비 추출 가능성에서 비롯됩니다. 관심이 있으시면 자세히 설명하겠습니다.

— ilyaraz

나는 실제로입니다. 그렇게 쉬운 경우 이메일 (sureshv@gmail.com)을 보내 주시기 바랍니다.

— Suresh Venkat

답변:

당신이 찾고있는 것은 두 개의 독립적 인 소스를위한 1 비트 추출기입니다. 함수 , X, Y가 최소 엔트로피를 갖는 임의의 변수 인 0.499 * log (N), E (X, Y)는 거의 균형을 이룹니다. $E:[N]\times [N]\to \{0,1\}$

악명 높은 어려운 문제입니다. 원하는 매개 변수에 대해서는 Bourgain이 해결했다고 생각합니다. 여기를 참조하십시오 : http://www.cs.washington.edu/homes/anuprao/pubs/bourgain.pdf

— 다나 모 쉬코 비츠
소스

Bourgain은 일부

대해 바이어스

를 제공합니다 . 나는 확실히 분석은 줄 수 있지 않다

. 내가 너라면 공부하고 확인하겠다. Anup Rao, Zeev Dvir, Avi Wigderson 또는이 문제를 해결 한 다른 사람에게 요청할 수도 있습니다.

p = N^{- α}

$p=N^{-\alpha}$

α > 0

$\alpha>0$

α = 1 / 2

$\alpha = 1/2$

— Dana Moshkovitz

@ilyaraz : Bourgain의 구성이 원하는 매트릭스를 제공하는지 여부를 알면 (공유하지 않는 한) 공유하십시오!

— Tsuyoshi Ito

이것은 매우 흥미로운 Q & A였습니다. 쓰요시의 두 번째 요청입니다.

— Suresh Venkat

질문과 답변을 다시 읽고 (오래 전입니다.), 나는 질문자가 N ^ {1.5} 만 원한다는 것을 알지 못했다고 생각합니다.이 확률은 N = 1 인 비트를 추출하는 것에 해당합니다 ^ 밸런스 비트가 아닌 {-0.5}. 여전히, 나는 2- 소스 추출기에 대한 참조가 도움이된다고 생각합니다. 비슷한 기술이 질문의 설정에 유용 할 것이라고 생각할 수 있습니다.

— Dana Moshkovitz

1) 추출기가 k를 거의 균일 한 비트로 출력하는 경우, 특히 ~ 1 / 2 ^ k 확률로 1 인 1 비트를 얻을 수 있습니다. 2) 이것은 매우 낭비 적이며 그러한 비트를 생성하는보다 효율적인 방법을 찾는 좋은 연구 질문처럼 들립니다.

— Dana Moshkovitz

이 답변은 위의 답변에서 Dana의 아이디어를 기반으로합니다.

2 소스 손실 콘덴서를 사용하여 그러한 매트릭스를 만들 수 있다고 생각합니다. 수정 말할 . 명시적인 함수가 있다고 가정 임의의 두 개의 독립적 인 랜덤 소스 소요 , 각각 길이가 적어도 갖는 최소 엔트로피를 및 시퀀스를 출력 의 $\delta = 0.001$ $N=2^n$ $f(x,y)$ $(X, Y)$ $n$ $k = n(1/2 - \delta)$ $n' = n/2$ 인 비트 적어도 최소 엔트로피와 분포 -close . 표준 확률 론적 인수를 사용하여 인 경우 임의의 함수가 이러한 특성 (압도적 인 확률로)을 만족함을 보여줄 수 있다고 생각합니다 . 확률 론적 주장은 무손실 콘덴서 및보다 일반적인 도체에 대해 다음 백서에서 사용한 것과 유사해야합니다. $\epsilon$ $k'=n(1/2-3\delta)$ $2k > k'+\log(1/\epsilon)+O(1)$

M. Capalbo, O. Reingold, S. Vadhan, A. Wigderson. 2도 이상의 장벽을 넘어 무작위성 도체와 일정한 정도의 확장

우리의 경우, 우리는 설정 우리는 우리가 필요로하는 기능의 존재에 대한 확신, 그래서. 이제 한는 평균화 인수 쇼가 있음 비트 스트링 의 수 있도록 와 적어도 인 . 그러한 를 알고 수정 한다고 가정 하십시오 (임의의 선택할 수 있습니다) $\epsilon = 2^{-k'}$ $n'$ $z$ $(x,y)$ $f(x,y)=z$ $2^{1.5 n}$ $z$ $z$ 함수가 완전 균일 분포를 -균일에 가까운 분포에 매핑한다는 것을 추가로 알고있는 경우 . 이제 의 가능성으로 행렬 의 항목을 식별하고 위치 iff 을 넣습니다 . 선택 하면이 행렬의 최소값은 $O(2^{-n/2})$ $N \times N$ $(x,y)$ $1$ $(x,y)$ $f(x,y)=z$ $z$ $2^{1.5n}$ 그들.

이제 하위 행렬을 취하고 가 각각 선택된 행과 열에 균일하게 분포되도록합니다. 의 선택에 의해 , 우리가 알고있는 인 최소 엔트로피를 갖는 -close . 따라서 우리가 부분 행렬의 균일하게 임의의 항목을 선택하면 을 가질 확률은 최대 $2^k \times 2^k$ $X, Y$ $f$ $f(X,Y)$ $\epsilon$ $k'$ $1$ $2^{-k'}+\epsilon\leq 2^{-k'+1}$ . 즉 , 원하는대로 하위 행렬 에 최대 개가 있음을 의미합니다. $2^{2k-k'+1} = O(2^{n/2 + \delta})$

물론 , 원하는 파라미터 (특히, 거의 최적의 출력 길이) 를 갖는 명시적인 를 도출하는 것은 매우 어려운 과제이며, 지금까지 이러한 기능은 알려져 있지 않다. $f$

— MCH
소스