정수 목록의 두 제품을 비교합니까?

경계 정수의 양의 정수 목록이 두 개 있다고 가정하고 각 목록의 모든 요소의 곱을 가져옵니다. 어떤 제품이 더 큰지 결정하는 가장 좋은 방법은 무엇입니까?

물론 각 제품을 간단히 계산할 수는 있지만 제품의 자릿수가 용어 수에 따라 선형으로 증가하여 전체 계산이 2 차적이기 때문에보다 효율적인 접근 방식이 필요합니다.

곱하기 대신 추가하는 경우 첫 번째 목록에서 점진적으로 항목을 추가하고 두 번째 목록에서 빼는 "지퍼 링 전략"을 사용하여 (큰) 전체 합계를 계산할 필요가 없습니다. 제품에 대한 유사한 기술은 항목의 로그를 합산하는 것이지만 이제 문제는 로그를 계산할 때 부정확 한 산술을 사용해야한다는 것입니다. 수치 적 오류가 관련이 없음을 증명할 방법이 없다면?

time-complexity nt.number-theory

— 사용자 168715
소스

우리가 최대 정수 값을 알고 있고 그것이 n과 독립적이라면 (즉, 상수 k), 1에서 k까지의 모든 숫자의 인자에 대한 룩업 테이블을 만들 수 있습니다. 이제 기본 [인수의 곱]으로 모든 것을 쓰면 그 기본과 선형 시간으로 제품을 계산 한 다음 한 자릿수가 다른 숫자보다 클 때까지 각 자릿수 (최고 순서 자릿수로 시작)를 차례로 비교할 수 있기 때문에 선형이된다고 생각합니다. 세부 사항은 약간 까다 롭지 만 k가 상 수면 작동해야한다고 생각합니다.

— Phylliida

오히려 제품에 대한 유사한 기술은 합리적 숫자를 첫 번째 목록의 첫 번째 요소를 두 번째 요소의 첫 번째 요소로 나눈 값과 동일하게 유지하는 것입니다 (플러스 처리

초). 그러나 모든 숫자가 coprime이면 두 제품을 모두 계산하므로 실제로 도움이되지 않습니다. | 또한 순진한 알고리즘이 2 차인지 확실하지 않습니다. (A)의 생성물 컴퓨팅

크기의 정수

걸릴 수

0

$0$

n

$n$

m

$m$

C (m, m) + C (m, 2 m) + . . . + C (m, (n - 1) m)

$C(m,m)+C(m,2m)+...+C(m,(n-1)m)$

는

비트 정수에

비트 정수를곱하는 비용입니다. 제품이 형식에 적합하다고 생각하지 않는 한

C (x, y)

$C(x,y)$

x

$x$

y

$y$

— xavierm02

math.stackexchange.com/a/1081989/10385

— xavierm02

순진한 접근 방식의 개선 : 효율적인 동력 알고리즘을 사용하여 각 요인의 발생 횟수 (선형 시간)를 계산하고 마지막에 제품 만 계산합니다. 시간이 작동

이고,

O (M (n))

$O(M(n))$

점근 빠른 방법을 사용하여 현재.

O (n \log n 2^{O (\log^{*} n)})

$O(n\,\log n\,2^{O(\log^*n)})$

— Emil Jeřábek

나는 로그에 필요한 정확도에 대해 생각할 것입니다. 실제로 더 효율적일 수 있습니다.

— Emil Jeřábek

(입력 번호가 상수에 의해 제한되도록 문제에 대한 설명을 이해하므로 바운드에 대한 종속성을 추적하지 않습니다.)

이 문제는 로그의 합을 사용하여 선형 시간 및 로그 공간에서 해결할 수 있습니다. 더 자세하게 알고리즘은 다음과 같습니다.

이진 카운터를 사용하여 두 목록에서 가능한 각 입력 번호의 발생 횟수를 계산합니다.

이 걸리는 시간 및 카운터 공간 사용 각 카운터에 의해 제한 될 때, 값. $O(n)$ $O(\log n)$ $n$

아래의 소수라고 합시다 . 숫자 에 대한 각 카운터를 a 의 소인수에 분배 (적절한 다중성으로) 다른 목록에서 한 목록의 수를 빼면 시간 에서 다음을 얻습니다 . $p_1,\dots,p_k$ $O(1)$ $a$ $a$ $O(\log n)$

정수 를 비트로 계산하여 문제가 의 부호를 결정하는 것과 같습니다 . $\beta_1,\dots,\beta_k$ $O(\log n)$ $\Lambda:=\sum_{i=1}^k\beta_i\log p_i$

경우 , 답 제품은 동일한 것이다. $\beta_1=\dots=\beta_k=0$

그렇지 않으면 입니다. 에 의해 베이커의 정리 , 우리는 하한 수 특정 상수 대해 . 따라서 다음은 의 부호를 올바르게 계산합니다 . $\Lambda\ne0$

| Λ | > 2^{- 씨 로그 엔}

$|\Lambda|>2^{-C\log n}$

C

$C$

Λ

$\Lambda$

의 부호를 출력합니다 . 여기서 는 ~ 비트 정확도 의 근사값입니다 . $\sum_{i=1}^k\beta_i\pi_i$ $\pi_i$ $\log p_i$ $m:=C\log n+k+1$

을 2 개의 비트 정수 의 곱셈 비용 이라고하자 . 현재 최고 한계는 $M(m)$ $m$ , 여기서 우리는 사소한 곱셈 알고리즘을사용하더라도 큰 차이는 없습니다. 우리는 계산할 수 에게 시각 정밀도의 비트 사용 AGM 반복 (예를 참조여기평가 후) 및 시간 소요 $M(m)=O(m\,\log m\,2^{O(\log^* m)})$ $O(m^2)$ $\log p_i$ $m$ $O(M(m)\log m)$ $\sum_i\beta_i\pi_i$ . 전반적으로, 4 단계의 소요 시간 $O(M(m))$ . $O(M(m)\log m)\subseteq O(\log n\,\mathrm{poly}(\log\log n))$

따라서, 알고리즘의 실행 시간은 제 1 단계의 에 의해 지배된다 . $O(n)$

— 에밀 제라 벡
소스

감사! 나중에 세부 사항을 검토해야하지만 이것은 매우 유망한 것 같습니다!

— user168715