LP의 최소 최대 솔루션

물론 선형 프로그래밍은 오늘날 매우 잘 이해되고 있습니다. 우리는 실현 가능한 솔루션의 구조와 최적의 솔루션의 구조를 특징 짓는 많은 일을했습니다. 우리는 강력한 이중성, 다중 시간 알고리즘 등을 가지고 있습니다.

그러나 LP의 최소 최대 솔루션 에 대해 알려진 것은 무엇 입니까? 아니면 최대 최소 솔루션입니까?

(이것은 실제로 연구 문제는 아니지만 공휴일에는 덜 기술적 인 것을 가질 수 있습니다. 궁금한 점이 있고 인터넷 검색 후 올바른 키워드가 누락되어야한다는 느낌이 들었습니다. 공부하는 데 문제가 있지만 문제를 언급하는 산발적 인 논문 만 발견했습니다.)

일을 단순하게 유지하려면 LP 를 포장하고 덮는 데 중점을 두십시오 . A의 포장 LP 우리는 주어진 음이 아닌 행렬 . 및 경우 벡터 를 실행할 수 있습니다. 우리는 그것이 가능하고 어떤 구성 요소도 탐욕스럽게 증가시킬 수 없다면 는 최대 라고 말합니다 . 즉, 및 이면 를 실행할 수 없습니다. 그리고 마지막으로 는 목적 함수를 최소화하면 최소 최대 솔루션입니다.$A$$x$$x \ge 0$$Ax \le 1$$x$$y \ge 0$$y \ne 0$$x + y$$x$$\sum_i x_i$ 모든 최대 솔루션 중.

( 복사 LP 의 최대 최소 솔루션을 유사한 방식으로 정의 할 수 있습니다 .)

최소 최대 솔루션의 공간은 어떻게 생겼습니까? 그러한 해결책을 어떻게 찾을 수 있습니까? 그러한 해결책을 찾는 것이 얼마나 어려운가요? 우리는 그러한 해결책을 어떻게 근사 할 수 있습니까? 누가 그런 것들을 연구하고 그것에 대한 올바른 용어는 무엇입니까?

이러한 질문은 원래 우위를 점하는 세트 와 최소 최대 매칭에 의해 동기가 부여되었습니다 . 최소 최대 매칭은 최소 에지 지배 세트라는 것이 잘 알려져있다 (그리고 상당히보기 쉽다). 반대로, 최소 에지 지배 세트가 주어지면 최소 최대 매칭을 구성하는 것이 쉽다.

본질적으로 그들은 같은 문제입니다. 두 가지 문제 모두 NP-hard와 APX-hard입니다. 사소한 2 근사 알고리즘이 있습니다 : 모든 최대 매칭.

그러나 그들의 "자연적인"LP 이완은 매우 다르게 보입니다. 당신이 가장자리 지배적 인 세트 문제를 취하고 자연적인 LP 이완을 형성하면, 당신은 취재 LP를 얻는다. 그러나 최소 최대 매칭을 찾는 데 문제가 있고 LP 이완을 시도하면 무엇을 얻을 수 있습니까? 물론, 분수 매칭은 패킹 LP의 실현 가능한 솔루션입니다. 최대 분수 매칭은 이러한 LP의 최대 솔루션이고, 따라서 최소 최대 분수 매칭은 이러한 LP의 최소 최대 솔루션이다. :)

극대 성과 최소 성 : 파레토 최적의 종류입니다.
복잡성 : 최소 최대 솔루션을 찾는 것이 NP-hard라고 생각합니다. 이분 그래프에서 독립 지배 문제 (일명 최소 최대 독립 세트 문제)를 줄입니다. 이 문제 (보다 정확하게는 결정 버전)는 NP- 완전한 것으로 알려져 있습니다 (DG Corneil 및 Y. Perl, 완벽한 그래프에서의 군집 및 지배. 이산 응용 수학 9 (1984) 27-39). 이분 그래프는 완벽하기 때문에, 독립적 인 세트 폴리 토프는 클릭 부등식에 의해 결정되며, 이분 그래프의 클릭 수는 다항식입니다. 따라서 독립 세트 폴리 토프에 대해 선형 불평등 Ax <= 1, x> = 0 시스템을 명시 적으로 기록 할 수 있습니다. 극단 솔루션은 독립 세트에 해당하고 극대 최대 솔루션은 최대 독립 세트에 해당합니다.

다면체의 블로킹 및 안티 블로킹 쌍 을 살펴 보는 것이 유용 할 수 있습니다 . 포장 문제가 있다고 가정하십시오. 그런 다음 실행 가능 영역 는 음이 아닌 정사각형의 모서리 다면체이며, 안티 블로커 (또한 모서리 다면체)는 기본적으로 정의하는 부등식 집합입니다 .$P$$A(P)$$P$

예를 들어, 일부 그래프 (즉, 안정 세트의 입사 벡터의 볼록 껍질 대해 안정 세트 폴리 토프 를 취하면 , 그 는 폴리 토프입니다 예 : (즉, 안정적인 세트가 총 가중치 을 갖지 않도록하는 음이 아닌 가중치의 세트 ).$STAB(G)$$G$$G$$QSTAB(\bar G)$$> 1$

Grötschel, Lovász 및 Schrijver의 "타원체 방법 및 조합 최적화의 결과"를 보면 에 대한 최적화가 최적화와 계산적으로 동등한 의미라는 것을 알 수 있습니다. 이것은 LP에 대한 이중 영역이 안정된 세트 폴리 토프의 안티-블로커이기 때문에 분수 색수를 계산하는 것이 NP-hard임을 증명하는 한 가지 방법입니다!$P$$A(P)$

슬프게도 나는이 물건에 대한 투명한 설명을 찾는 데 어려움을 겪었지만 결코 다면체 전문가는 아닙니다. 다행히도 현재 문제와 관련이 있기를 바랍니다.