커뮤니케이션 복잡성… 클래스?

토론 :

나는 최근 의사 소통의 복잡성에서 다양한 것들을 배우는 데 개인적인 시간을 보냈습니다. 예를 들어, 나는 Arora / Barak의 관련 장에 익숙해졌고, 논문을 읽기 시작했고, Kushilevitz / Nisan이 책을 주문했습니다. 직관적으로 통신 복잡성과 계산 복잡성을 대조하고 싶습니다. 특히, 나는 계산 복잡도가 (다시 할 수 있습니다 일부 복잡성 클래스로 계산 문제를 배치의 풍부한 이론으로 발전했다는 사실에 의해 쳐있어 적어도 하나 개의 관점에서 의 관점에서 구상) 전체 문제 에 대한 주어진 수업. 예를 들어 N P를 설명 할 때$NP$ 누군가에게 처음으로 SAT 또는 다른 NP-complete 문제와의 비교를 피하는 것은 어렵습니다.

이에 비해 커뮤니케이션 복잡성 클래스에 대한 유사한 개념은 들어 본 적이 없습니다. 내가 알고있는 많은 "예제 정리에 대한 문제"가 있습니다. 예를 들어, 일반적인 프레임 워크, 저자는 주어진 통신 문제를 설명 할 수 다음 관련 정리의 증명 T가 보유 I을 f를 f를 통신 문제가 해결 될 수있는 X 또는 약간 적은 비트 ( X 특정 이론에 따라 문제의 / 문제 쌍). 문헌에 사용 된 용어는 P 가 T에 대해 "완전" 하다는 것이다.$P$$T$$iff$$X$$X$$P$$T$

또한, Arora / Barak 통신 복잡성 장 초안 (최종 인쇄에서 제거 / 조정 된 것으로 보임)에는 "일반적으로 , c o N P 와 유사한 통신 프로토콜을 고려할 수 있습니다. , P H 등 " 그러나 두 가지 중요한 생략이 있습니다.$NP$$coNP$$PH$

1. "아날로그"개념은 다른 유형의 리소스에 액세스하여 특정 프로토콜을 해결하는 통신 복잡성을 계산하는 방식으로 보이지만 적절한 통신 복잡도 클래스를 정의하는 데는 부족합니다 ...
2. 의사 소통 복잡성의 대부분은 결과 / 이론 등의 압도적 다수라는 점에서 상대적으로 "낮은 수준"인 것으로 보인다. 작고 구체적인 다항식 크기 ​​값을 중심으로 회전합니다. 이것은 왜 가 계산에 흥미가 있지만 비슷한 개념은 의사 소통에 덜 흥미로워 보이는지에 대한 질문을 다소 제기 합니다. (물론, 나는 단순히 "상위"통신 복잡성 개념을 알지 못하는 것에 잘못이있을 수 있습니다. $NEXP$

질문 :

통신 복잡성에 대한 계산 복잡성 클래스와 유사한 개념이 있습니까?

과:

그렇다면 복잡성 클래스의 "표준"개념과 어떻게 비교됩니까? (예를 들어, "통신 복잡성 클래스"에는 본질적으로 계산 복잡성 클래스의 전체 범위에 미치지 못하도록하는 자연적인 제한이 있습니까?) 그렇지 않다면, 클래스가 계산 복잡성에 대한 흥미로운 형식론이지만 "평화되지 않은"이유는 무엇입니까? 의사 소통의 복잡성

이 논문을 찾고있는 것 같습니다 : http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1382439.1382962

커뮤니케이션 복잡성의 복잡성 클래스는 Noam이 인용 한 논문에서 Babai, Frankl, Simon에 의해 소개되었습니다. 이 논문은 또한 적절한 감축에서 완전성의 개념을 발전시킨다. 예를 들어 NP와 co-NP 클래스를 설명한다면 (co-NP complete) Disjointness 문제도 설명하는 것이 좋습니다.

두 번째 질문에 대해, P가 (통신 복잡성에서) polylog (n) 통신으로 해결할 수있는 문제의 클래스가 결정 론적이라면, 클래스 EXP는 poly (n) 통신으로 해결할 수있는 일련의 문제 여야합니다. 따라서 그러한 수업은 흥미롭지 않은 것 같습니다.

그러나 더 큰 수업을받는 또 다른 방법이 있습니다. 이미 PSPACE는 공간 개념이 아니라 교대라는 측면에서 (Babai et al.에 의해) 정의되어있다. 대화 형 증명은 복잡한 클래스를 얻는 또 다른 방법입니다. 따라서 MIP 클래스를 두 명의 프로 버 (서로 대화 할 수없는)와 두 명의 검증 자 (서로 대화 할 수있는 사람)와 통신 게임에서 해결 될 수있는 일련의 문제로 정의 할 수 있습니다.

튜링 머신 세계에서는 MIP = NEXP이지만 통신 복잡성 (NEXP가 의미가없는 것)은 어떻습니까? 우선, 간단한 계산 계수로 인해 MIP는 모든 문제의 집합이 아닙니다.

Andrew Drucker (마스터 논문에서)는이 수업에서 흥미로운 것을 보여주었습니다. 그는 PCP가 통신 복잡성에 있다고 생각합니다. 표준 기술에 따르면 MIP 프로토콜과 같습니다 (결과는 여기에 언급 한 것보다 약간 강합니다).

그가 보여주는 것은 NP의 모든 문제 (투링 머신 클래스)와 입력을 분리하는 모든 방법에 대해, 결과적인 통신 문제는 통신 polylog (n)를 가진 MIP 프로토콜을 가진다는 것입니다 (즉, 문제는 (통신 복잡성) 클래스 MIP).

따라서 MIP가 전부는 아니지만 MIP에없는 명백한 문제를 찾는 것은 어렵습니다 (NP에없는 문제를 찾을 수 없기 때문에가 아니라 Turing 머신의 복잡성이 어떻게 작용할 수 있는지 상상하기 어렵 기 때문에) ).

AM 프로토콜에 대한 하한을 증명하는 방법조차 알지 못하기 때문에 MIP에 대한 하한을 나타내는 것이 어려울 수도 있습니다.

Complexity Zoo 의 섹션 에는 가장 중요한 Communication Complexity 클래스가 나열되어 있습니다.

통신 복잡성에 대한 이러한 제한이 존재하는 근본적인 이유는 통신 할 필요가있는 총량의 정보 (입력)가 항상 존재하기 때문입니다. Hartmut Klauck은 그의 대답에서 이미 이것을 지적했지만,이 근본적인 한계에 대한 근본적인 이유, 즉 플레이어가 계산에 제한이 없다는 다른 OQ에 대한 답변을 강조하고 싶었습니다 .

$d(n)$$O(d(n)\log n)$$d(n)=O(1)$