Hott 책에서 대부분의 유형 전자는 중복입니까? 그렇다면 왜 그렇습니까?

Hott 책 의 1 장과 부록 A에서 기초를 형성하기 위해 몇 가지 기본 유형 패밀리 (유니버스 유형, 종속 함수 유형, 종속 쌍 유형, 보조 제품 유형, 빈 유형, 단위 유형, 자연수 유형 및 ID 유형)가 제공됩니다. Homotopy 유형 이론을 위해.

그러나 유니버스 유형 및 종속 함수 유형을 사용하면 이러한 다른 "기본"유형을 모두 구성 할 수 있습니다. 예를 들어 빈 유형을 대신 다음과 같이 정의 할 수 있습니다.

ΠT:U.T

다른 유형도 순수한 CC에 있는 방법과 유사하게 구성 될 수 있다고 가정합니다 (즉, 정의의 유도 부분에서 유형을 파생 함).

이러한 유형 중 다수는 5 장과 6 장에서 소개 된 Inductive / W 유형에 의해 명시 적으로 이중화되어 있습니다. 적어도 책이 나왔을 때).

따라서 이러한 추가 유형이 기본으로 표시되는 이유에 대해 매우 혼란스러워합니다. 저의 직관은 기초 이론은 가능한 한 최소한이어야하고, 이론에 대한 기본 요소로서 여분의 빈 타입을 재정의하는 것은 매우 임의적 인 것 같습니다.

이 선택이 이루어 졌습니까?

내가 알지 못하는 몇 가지 metatheoretic 이유 때문에?
역사적 이유로 유형 이론을 과거의 유형 이론처럼 보이게하는 것 (필수적인 기초가되는 것은 아님)?
컴퓨터 인터페이스의 "사용성"
내가 알지 못하는 증거 검색의 장점이 있습니까?

비슷한 : Martin-Löf 유형 이론의 최소 사양 , /cs/82810/reducing-products-in-hott-to-church-scott-scott-encodings/82891#82891

type-theory dependent-type homotopy-type-theory

— 사용자 833970
소스

그것들은 중복되지만 제안하는 방식이 아닙니다. "최소한의 기초"가 어떤 목적에 도움 이 되는지 자문 해보아야 합니다. 그리고 우리는 목적에 관심이 있습니까?

— Andrej Bauer

나는 기술 작업이 관습에 의해 최소한이라고 가정합니다. 분명히 편리하거나 명시 적으로 언급 된 경우 일을 최소화 할 필요가 없습니다. 이 책은 잘림 유형을 정의 할 때 (규칙에 의해 정의되지만 명시 적으로 최소는 아님) 다른 곳에서도이를 준수합니다. 예를 들어, 후임자와 전원 작동으로 0,1,10으로 정의 된 nat를 보면 혼란 스러울 수 있지만 적어도 왜 그것이 표기 상 편리한 지 알 수 있습니다. Hott는 훨씬 더 복잡한 연구 분야이며, 분명한 것이 빠져 있는지 알고 싶습니다.

— user833970

나는 그들이 어떻게 해로울 수 있는지에 대해 듣고 싶습니다. 그것에 대해 새로운 질문을해야합니까?

— user833970

@AndrejBauer 나는 그들이 왜 해로운 지 알고 싶습니다. 기초 언어가 최소한이어야한다고 믿는 나의 이유는 occam의 면도기 뒤에있는 추론인데, 그것은 정당화되지 않은 추가 된 복잡성입니다. 왜 거기서 멈춰? 왜리스트, 문자열, 쌍, 트리플, 벡터도 추가하지 않겠습니까? 그것들은 자의적인 선택 인 것 같습니다. 편집 : 방금이 질문에 답이 있음을 알았습니다. 하지만 여기에 관심이있는 이유를 설명하기 위해이 설명을 남겨 두겠습니다.

— MaiaVictor

블로그 게시물을 작성하겠습니다.

— Andrej Bauer

답변:

빈 유형의 제안 된 인코딩이 작동하지 않는 이유를 설명하겠습니다. 우리는 우주 수준에 대해 명시 적이어야하며 양탄자 아래에서 쓸어 내서는 안됩니다.

사람들이 "빈 유형"이라고 말하면 다음 두 가지 중 하나를 의미 할 수 있습니다.

모든 유형과 관련하여 비어 있는 단일 유형 이러한 유형에는 제거 규칙이 있습니다. 모든 및 유형 패밀리 에 대해 맵 있습니다. $E$ $n$ $A : E \to U_n$ $e_{n,A} : E \to A$
형태의 가족 각 우주 레벨 하나 등이 $E_k$ $k$ $E_k$ "의 빈 유형 ". 이러한 유형은 분명히 를 만족해야 하며, 또한 모든 유형 패밀리 에 대해 맵 있습니다. $U_k$ $E_k : U_k$ $A : E_{k} \to U_k$ $e_{k,A} : E_{k} \to A$

어떤 단서가 없다면, 사람들이 "빈 타입"이라고 말할 때, 그들은 위의 첫 번째 의미를 기대합니다.

우리는 어떻게 를 얻을 수 있습니까? 첫 번째 시도는 와 같은 것일 수 있습니다 $E$ 그러나 이것은 혼란을 일으키는 깔개 밑에서 정확히 쓸어내는 것입니다. 명시적인 유니버스 수준을 기록해야합니다. 우리가 와 같은 것을 쓰면

E = Π (T : U) . T

$E = \Pi (T : U) \,.\, T$

E_{k} = Π (T : U_{k}) . T

$E_k = \Pi (T : U_k) \,.\, T$ 우리는 종류의 시퀀스 얻을

, 각각의 레벨에 대한 한

. 우리는이 순서 위의 의미에서 빈 유형 희망 수도 있지만 때문은 아니다

에

이지만이 될 것으로 예상되는

E_{0}, E_{1}, E_{2}, \dots

$E_0, E_1, E_2, \ldots$

k

$k$

E_{k}

$E_k$

U_{k + 1}

$U_{k+1}$

U_{k}

$U_k$

또 다른 시도는

E = Π n . Π (T : U_{n}) . T

$E = \Pi n \,.\,\Pi (T : U_{n}) \,.\, T$

Π n

$\Pi n$

L

$L$

E = Π (n : L) . Π (T : U_{n}) . T

$E = \Pi (n : L) \,.\,\Pi (T : U_{n}) \,.\, T$

E

$E$

L

$L$

즉석 우주 로 알려진 해결책이 있습니다 . 이것은 마법의 우주 입니다 이면 유형 를 갖는 속성을 갖습니다 $U$ $B : U \to U$ $\Pi (X : U) B(X)$ $U$ $U$ $\Pi (X : U) X$ $U$

즉흥적 인 우주가 배열 될 수 있습니다. 그러나 Thierry Coquand의 유명한 정리 (실수하지 않은 경우)는 하나의 다른 우주에 포함 된 두 개의 즉석적인 우주 를 갖는 것이 모순을 초래 한다는 것을 보여줍니다 .

이야기의 교훈은 바로 빈 타입을 직접 axiomatize하고 인코딩을 중지하는 것입니다.

— 안드레이 바우어
소스

그것은 빈 유형을 axiomatize하는 설득력있는 추론이지만, 여전히 모든 무거운 것을 axiomatize하는 추론에 대해 궁금합니다.

— MaiaVictor

@MaiaVictor : 무엇과 반대로?

— Andrej Bauer

죄송합니다? 나는 빈 타입을 공리 화하는 것이 왜 좋은 아이디어인지 설득력있게 정당화한다는 것을 의미합니다. 그러나 OP는 "유니버스 유형, 종속 함수 유형, 종속 쌍 유형, 보조 제품 유형, 빈 유형, 단위 유형, 자연수 유형 및 ID 유형"과 같은 다른 항목에 대해서도 질문했습니다. HoTT book). (나는 분명히 당신이 그 모든 것을 정당화하도록 요구하지 않고 단지 내 관심을 나타냅니다.)

— MaiaVictor

@MaiaVictor : 다른 유형의 이야기는 매우 비슷합니다. 예를 들어 단위 유형은

1 = \prod_{X : U} (X \to X)

$\mathbb{1} = \prod_{X : U} (X \to X)$

@IngoBlechschmidt 어떤 종류의 문제를 배우고 싶어합니다! 나에게 좋아 보인다 ...

— MaiaVictor

유사하지만 뚜렷한 몇 가지 질문을합니다.

HoTT 서적이 왜 데이터 유형에 교회 인코딩을 사용하지 않습니까?

Martin-Löf 유형 이론에서는 두 가지 이유로 교회 인코딩이 작동하지 않습니다.

먼저 MLTT는 $n$ $k < n$

둘째, 교회 인코딩을 사용하여 자연수와 같은 데이터 유형을 정의한 경우에도 이러한 유형으로 증거를 수행하려면 해당 유형에 대한 사항을 증명하는 유도 원칙 이 필요 합니다. 교회 인코딩을위한 유도 원리를 도출하기 위해서는 레이놀즈의 파라 메트릭에 기초한 논증을 사용해야하며, 파라 메트릭 원리를 유형 이론으로 내재화하는 방법에 대한 문제는 아직 완전히 해결되지 않았습니다. (예술의 상태는 Nuyts, Vezzosi 및 Devriese의 ICFP 2017 종이입니다 종속 유형 이론에 대한 파라 메트릭 한정 기호 -이 잘 참고 후 하세요 HOTT 책이 기록되었다)
다음으로, 기초가 최소가 아닌 이유를 묻습니다. 이것은 실제로 유형 이론 기초의 특징적인 사회 학적 특징 중 하나입니다. 가장 작은 규칙 세트 보다는 올바른 규칙 세트 를 갖는 것이 훨씬 더 중요합니다 .

우리는 수학자 및 프로그래머 가 사용할 유형 이론을 개발 하며, 유형 이론 내에서 수행 된 증거는 수학자 및 프로그래머가 올바른 방식으로 수행 된 것으로 간주하는 것이어야합니다. 수학자들이 일반적으로 좋은 스타일을 갖는 것으로 간주하는 주장은 일반적으로 연구 영역의 주요 대수적 및 기하학적 원리를 사용하여 구성되기 때문입니다. 복잡한 인코딩을 사용해야하는 경우 많은 구조가 손실되거나 가려집니다.

그렇기 때문에 제안 고전 논리의 형식 이론적 표현조차도 NAND 만있는 논리와 공식적으로 동일하더라도 모든 논리 연결을 항상 제공합니다. 물론 모든 부울 연결을 NAND로 인코딩 할 수 있지만이 인코딩은 논리 구조를 모호하게합니다.

— 닐 크리슈나 스와미
소스

이 답변에 감사드립니다! 나는 그 논문 (그리고 당신의 논문)을 읽어야 할 것이고 그것은 더 이해가 될 것입니다. 그러나 우주 계층 구조는 예측 가능한 일을 할 수있는 것처럼 보이도록 설계되었다고 생각했습니다. 예를 들어 (λA : U.λa : Aa) (ΠA : UA → A)는 (λA : Un + 1.λa : Aa) (ΠA : Un.A → A). 나는 이것을 설명하지 않는 것이 이상한 편집 선택이라고 생각합니다. 내가 아는 모든 논리 책은 CNF, DNF, NAND 등과 같은 몇 가지 최소한의 인코딩을 지적합니다. 이론을 세우는 데 익숙한 사람이라면 누구나 Nats의 "자연스러운"인코딩을 통해 이론을 보여줄 것으로 기대합니다. 그러나 그것은 단지 내 고전적인 편견 일 수 있습니다.

— user833970

그건 내 마지막 코멘트에서 "impredicative"이어야합니다

— user833970

\prod (T : U_{n}) . T

$\prod (T : U_n) . T$

U_{n}

$U_n$

U_{n + 1}

$U_{n+1}$

U_{n}

$U_n$

아마도 나는 우주 계층 구조에 대해 오해하고있을 것입니다. 유형이 어떤 특정 유니버스에 있는지는 신경 쓰지 않으며 증명을 확인하려는 경우에만 유니버스 번호를 할당 할 수 있다고 생각했습니다. 따라서 기술적으로 ΠT : UT는 유니버스에 대해 인덱스 된 유형의 제품군입니다. 다형성 동일성과 마찬가지로 유니버스에 대해 인덱스 된 유형의 패밀리가 있습니다. 그러나 우리는 다형성 정체성에 대해 같은 문제가 있습니까? 마지막 두 문장으로 확장 할 수 있다면 정말 감사합니다. 나는 이해하지 못한다고 생각합니다.

— user833970

올바른 제거 속성이 없다고 말하면 유니버스가 일단 고정되면 더 높은 유니버스에는 ΠT : Un.T라는 용어로 직접 합성 할 수없는 유형이있는 것입니까?

— user833970