유형 이론에서의 칸토르 정리

캔터의 정리에 따르면

모든 세트 A의 경우, A의 모든 서브 세트 세트는 A 자체보다 카디널리티가 엄격합니다.

ZFC 세트를 참조하지 않고 유형 / 명제 만 사용하여 이와 같은 것을 인코딩 할 수 있습니까? 이 제안을 종속적으로 유형이 지정된 언어로 인코딩하기위한 코드 또는 의사 코드가 인정 될 것이다.

type-theory set-theory

— 폴라 베가
소스

짧은 대답 : 예! 증거를 얻기 위해 많은 기계가 필요하지 않습니다.

하나의 미묘함 : 제외 된 중간을 사용하는 것처럼 보입니다. 하나는 세트 와 숫자 를 만들고 또는 중 하나를 모순으로 나타냅니다. . 그러나 거기에 보조 정리입니다 사실 , 직관 논리의 상태가 : $D$ $d$ $d\in D$ $d\not\in D$

모든 진술에 대해 피, (피 ⟺ \neg 피) \Rightarrow ⊥

$\mbox{ for all statements } P, (P\iff \neg P) \Rightarrow \bot$

이것은 일반적인 증거와 함께 충분합니다. 일반적으로 "surjection"은 건설적 / 직관적 인 논리 (선택 사항없이)에 약간의 미묘한 차이가있을 수 있으므로 대신 "올바른 가역적"을 사용해야합니다.

Coq의 매우 표준적인 증거 (어떤 이유로 온라인에서 찾을 수 없음)는 다음과 같습니다.

Inductive right_invertible {A B:Type}(f : A->B):Prop :=
| inverse: forall g, (forall b:B, f (g b) = b) -> right_invertible f.


Lemma case_to_false :  forall P : Prop, (P <-> ~P) -> False.
Proof.
  intros P H; apply H.
    - apply <- H.
      intro p.
      apply H; exact p.
    - apply <- H; intro p; apply H; exact p.
Qed.


Theorem cantor :  forall f : nat -> (nat -> Prop), ~right_invertible f.
Proof.
  intros f inv.
  destruct inv.
  pose (diag := fun n => ~ (f n n)).
  apply case_to_false with (diag (g diag)).
  split.
  - intro I; unfold diag in I.
    rewrite H in I. auto.
  - intro nI.
    unfold diag. rewrite H. auto.
Qed.

물론,이 증거를 통과하기위한 최소한의 요구 사항으로 볼 수있는 이러한 교인들에 대해 생각할 수있는 "올바른"틀 은 모든 직교 폐쇄 범주에서 정리가 보유하고있는 Lawvere의 고정 소수점 정리 입니다. 특히 합리적인 유형 이론에서).

Andrej Bauer는이 이론에 대해 아름답게 합성 계산의 고정 소수점 정리에 관한 논문에 글을 썼다 .

— 코디
소스

만약 내가 제대로 이해하고, 당신의 정의에서 cantor, nat"어떤 집합 A"의 역할을 nat -> Prop"A의 모든 부분 집합의 집합"의 역할을한다. 로 대체하면 어떤 의미 nat -> Prop가 nat -> bool있습니까? 내가 사용 같아요 Prop우리가 대체 할 수 있어야하므로, 건설 논리에 더 적합하지만, 고전적인 논리와 집합 이론은 종종 중간 제외 맡기 Prop으로 bool여전히 오른쪽 정리를 증명할 수?

— Paula Vega

예, Prop을 bool로 바꾸는 것은 부정 맵을 사용하여 잘 작동합니다. Lawvere의 고정 소수점 정리는 고정 점이없는 맵 A-> A가있는 모든 유형 A에서이를 수행 할 수 있음을 보여줍니다. 따라서 3 개의 요소 또는 모든 자연수 유형이있는 유형도 작동합니다.

— Max New

@PaulaVega 최대 거의 모든 것을 말해,하지만 난 예를 들어, 예제 장난 사용하는 것이 좋습니다 bool대신 Prop하고 nat하고 diag := fun b => negb (f b b), 아니면 그냥 교체 Prop와 함께 nat및 사용 diag := fun n => (f b b) + 1.

— 코디