이 그래프 문제의 복잡성은 무엇입니까?

무 방향 그래프 주어지면 꼭짓점 $G$ 의 부분 집합 $A\neq \emptyset$ 를 찾습니다.

모든 정점 $x\in A$ 의 의 이웃 중 적어도 절반 $x$ 도 $A$ 및
의 크기 $A$ 는 최소입니다.

즉, 우리는 모든 내부 정점 근처의 절반 이상이 내부로 유지되는 클러스터를 찾고 있습니다. 전체 정점 세트 $V(G)$ 항상 특성 1을 갖기 때문에 그러한 클러스터의 존재는 명백하다 .

이 문제에 대한 표준 이름이 있습니까? 복잡성에 대해 알려진 것은 무엇입니까?

graph-theory graph-algorithms np-hardness

— 안드라스 파라고
소스

만족스러운 파티션 문제 의 변형 인 것 같습니다 . 변형이 알려져 있고 NPC로 판명되었는지는 모르겠습니다. 그러나 아마도 K-도당에서 환원 작동한다 : 링크를 각 노드의

원래 그래프가

(A)의 노드

크기의 "외부 도당"

(각 노드가 외부 도당을 갖는다). 그런 다음 당신은 사소 설정 찾을 수 있습니다 크기의

단 경우와 경우

v_{i}

$v_i$

k + 1

$k+1$

C_{i}

$C_i$

2 (k + 1)

$2(k+1)$

A

$A$

k

$k$

k

$k$ -clique는 원래 그래프에 존재합니다 (최소한 노드를 선택해야하지만 외부의 clique는 피해야합니다). 그러나 그것은 단지 아이디어 일뿐입니다. 시간이 충분하면 축소가 올바른지 확인하려고 노력할 것입니다.

— Marzio De Biasi

@MarzioDeBiasi 감사합니다. 일부 검색 후 만족스러운 파티션 문제가 실제로 관련되어 있음을 알았습니다. 그러나 내가 찾을 수있는 모든 변형 에서 단일 세트가 아닌 파티션 을 찾습니다 . 그들이 어떻게 관련되어 있는지 명확하지 않습니다. 감소로, 내가 잘못 이해 하지 않으면 원래 그래프 의

도수가 정의를 충족시키지 못합니다. 각 노드에는

내부 이웃이 있지만 외부 추가로 인해

외부 이웃이 있기 때문입니다. 파벌.

k

$k$

k - 1

$k-1$

k + 1

$k+1$

— Andras Farago

이 문제는 "방어 동맹"으로 알려져 있습니다.

— daniello

@daniello : 훌륭합니다. 저는 조사에서 IG Yero, JA Rodriguez-Velazquez를 검색했습니다. 충분한 시간이 있으면주의 깊게 읽어 보겠습니다. OP 문제가 이미 알려져있을 가능성이 높습니다!

— Marzio De Biasi

그것은 "모든 정점은 적어도 외부와 같이 많은 이웃을 가지고있다"는 것으로 반올림에 대한 질문에서와 같으며 아마도 정점 자체를 포함하거나 포함하지 않을 것입니다

— daniello

이것은 Clique에서 문제로 축소 된 것입니다.

우리는 인스턴스 도당의 시작 : 그래프 및 정수 ,하자 $G$ $k$ $V = \{ v_1, v_2,...,v_n\}$ .

도당에도 제약 하에서 NPC 유지 (증명 스케치 : 만약 이어서 추가 여기서 $max(deg(v_i)) \leq 2(k-1)$ $max(deg(v_i) > 2(k-1)$ $K_t$ 를 모든 노드에 연결하고 새 그래프에서 크기의 도축을 요청하십시오). $t = 2(k-1) - max(deg(v_i))$ $G$ $k' = k + t$

따라서 우리는 에서 합니다. 각 노드 대해 크기 ( 모든 노드 의 "외부"크리크 를 생성합니다 $G$ $max(deg(v_i)) \leq 2(k-1)$ $v_i$ $deg(v_i) < 2(k-1)$ $C_i$ $2(k+1)+1$ $C_i$ 도당 적어도 갖는 이웃을 가지고). $2(k+1)$

경우 정도 인 우리 연결 에 의 노드 . $deg(v_i)$ $v_i$ $v_i$ $2(k-1) - deg(v_i)$ $C_i$

In the resulting $G'$ , each $v_i$ has degree $2(k-1)$ ; so $|A| \geq k$ because at least one vertex must be selected.

It is clear that if one of the vertex of $C_i$ is included in $A$ then at least $2(k+1)/2 = k+1$ nodes must also be inserted in it. Note that if an original node has $deg(v_i) < k-1$ then at least one node of the linked $C_i$ must be included, leading to $|A| > k$ .

우리가 설정 구축 할 수 있도록 최소 크기를 에 크기 의 도가 포함 된 경우에만 입니다. $A$ $|A| = k$ $G$ $k$

노란색 노드와 굵은 가장자리로 표시되는 그래프 에 크기 (삼각형) 의 도가 포함되어 있는지 묻는 축소의 예입니다 . $G$ $k = 3$

(가독성 그룹화) 블루 노드는 적색 가장자리의 노드들 사이의 링크 인 와 . $K_9$ $G$ $deg(v_i) < 2(k-1)$

— Marzio De Biasi
소스

@WillardZhan: because every vertex of

G^{'}

$G'$ has degree

\geq 2 (k - 1)

$\geq 2(k-1)$ by construction, so if

A

$A$ contain one vertex, it must contain at least

2 (k - 1) / 2 = k - 1

$2(k-1)/2 = k-1$ neighbours (and the same applies to all vertices of

A

$A$ ), so

| A | \geq k

$|A| \geq k$ . The "minimum size"

k

$k$ can be achieved only if

A

$A$ is a clique of size

k

$k$ .

— Marzio De Biasi

@WillardZhan: I added another condition to the starting clique problem (but it should remains NPC) ... I'm still checking it (not entirerly convinced its correct).

— Marzio De Biasi

Yes, now it works perfectly (though it should be

k^{'}

$k'$ in the expression of

t

$t$ ). Maybe I shall delete my comments?

— Willard Zhan

@WillardZhan: I think it's correct, because in that paragraph I'm referring to the reduction from Clique [instance

(G, k)

$(G,k)$ ] to Clique+constraint

m a x (d e g (v_{i})) \leq 2 (k - 1)

$max(deg(v_i)) \leq 2(k-1)$ [instance

(G^{'}, k^{'})

$(G',k')$ ].

t

$t$ is the number of the nodes (clique) to add to G to get the new instance of Clique that stastisfies the constraint.

— Marzio De Biasi