에서 두 세트의 포인트 가 회전에 의해서만 다른 경우 테스트의 복잡성 ?

점 두 가지 크기의 세트 가 있다고 가정 합니다 . 회전에 의해서만 다른 경우 테스트의 (시간) 복잡성은 무엇입니까? : 회전 행렬이 존재 이되도록 ? $m$ $X,Y\subset \mathbb{R}^n$ $OO^T=O^TO=I$ $X=OY$

여기에 실제 값을 나타내는 문제가 있습니다. 단순화를 위해 기본 산술 연산 비용을 O (1)로 가정 할 수 있도록 각 좌표에 대해 (짧은) 대수 공식이 있다고 가정합니다.

기본적인 질문은이 문제가 P에 있는지 여부입니다.

처음에는이 문제가 단순 해 보일 수 있지만 일반적으로 각도와 같은 점과 로컬 관계의 표준을 테스트하기에 충분하지만, 그래프 동형 문제와 같은 불쾌한 예가 있습니다 .

구체적으로, 강력 규칙 그래프 (SRG) 의 인접 행렬의 고유 공간을 살펴보면 기하학적 해석을 할 수 있습니다 . 아래는 가장 간단한 예입니다. 두 개의 16 개의 정점 SRG는 로컬로 동일하지만 동형이 아닙니다.

SRG의 인접 행렬은 항상 3 개의 고유 값 (알려진 공식)을 갖습니다. 위의 고유 값 2 ( 커널)에 대한 고유 공간을 살펴보면 위에 작성된 6 차원의 차원이 있습니다. 그것은 (그램 - 슈미트) Orthonormalizing, 우리는 가능한 직교베이스의 큰 공간을 얻을 -에 의해 상이한 가 회전 "수직 벡터"회전 : 길이 6의 16와 같은 벡터들의 이러한 세트 정의 , 여기서 는 두 번째 그래프에 해당합니다. 와 가 회전에 의해서만 다른 경우 그래프 동형 변환 문제를 문제로 변환합니다 . $A-2I$ $O(6)$ $X\subset \mathbb{R}^6$ $|X|=16$ $Y$ $X$ $Y$

어려운 점은이 모든 점이 구체에 있고 원래의 관계를 재현한다는 것입니다. 모든 이웃 (여기 6)은 고정 각도 <90도, 모든 비 인접 이웃 (여기 9)은 회로도에서와 같이 90도 이상의 다른 고정 각도에 있습니다. 위의 그림.

따라서 규범 및 국부 각도를 기반으로 한 테스트 는 그래프 동형 문제로 되돌아갑니다 ...하지만 기하학적 해석은 회전 불변량과 같은 전역 속성 에서 작동 할 수 있습니다 .

일반적으로 자연적인 "전역"접근 방식은 두 모듈 "모듈로 회전" ( 자유도 포함)을 설명하고 두 설명이 동일한 지 확인 하려고 합니다. $n(n-1)/2$

우리는 일반적으로 회전 불변량을 정의 할 수 있습니다 . 문제는 완전한 회전 침략 세트를 구성하는 것입니다. 설정된 모듈로 회전을 완전히 결정합니다.

점 (?)에서 직접 작업하는 실제 회전 불변량에 대한 방법을 찾을 수는 없지만 다항식 ( stack )에 대해 수행 할 수 있습니다 . 차수 2 다항식 , 회전 불변량의 완전한 기준은 예를 들어 대한 입니다 . 도식적으로 그것들은 길이 사이클로 표현 될 수 있으며 , 우리는 고차 다항식에 대한 회전 불변량을 유사하게 구성 할 수 있습니다 (남은 질문은 독립성입니다). 예를 들어 아래의 각 그래프는 1,2,3,4 다항식의 단일 회전 불변량에 해당 : $x^T A x$ $Tr(A^k)$ $k=1,\ldots,n$ $k$

문제는 다항식으로 점 집합을 설명하는 방법입니다. 일반적으로 와 같이 고도의 다항식이 필요 하지만 SRG에 대한 세트는 상당히 일반-6 차 다항식으로 설명 할 수 있습니다. $p(z)=\prod_{x\in X} (x\cdot (z-x))$

p (z) = \sum_{x \in X} (x \cdot z - a)^{2} (x \cdot z - b)^{2} (x \cdot z - c)^{2}

$p(z)=\sum_{x\in X} (x\cdot z -a)^2 (x\cdot z -b)^2 (x\cdot z -c)^2$ 여기서 는 주어진 SRG에 대해 얻은 세트의 규범과 각도 (알려져 있음).

a, b, c

$a,b,c$

그렇다면 우리는 2 차 6 다항식이 다항식 시간의 회전에 의해서만 다른지 테스트 할 수 있습니까? 그렇다면 SRG에 대한 그래프 동형이 P에 있습니다.

SRG보다 더 강한 예 (두 세트가 회전에 의해서만 다른 경우 테스트를 위해)가 있습니까? Babai (?) 덕분에 준 다항식 상한선을 허용합니다.

업데이트 : (해결 된) 직교 Procrustes 문제 와의 유사성을 지적했습니다 .

min_{O : O^{T} O = I} ‖ O A - B ‖_{F} achieved for O = U V^{T}, where B A^{T} = U D V^{T}

$\min_{O:O^TO=I} \|OA-B\|_F \quad\textrm{achieved for}\quad O=UV^T,\quad\textrm{ where}\quad BA^T=UDV^T$

특이 값 분해에서. 우리는이 행렬을 우리의 요점에서 구성 할 수 있지만, 우리가 모르고 이있는 순서를 알아야합니다가능성. $m!$

우리는 예를 들어 Monte-Carlo 또는 유전자 알고리즘을 시도 할 수 있습니다 : 위의 공식을 사용하여 일부 포인트를 전환하고 거리 개선을 테스트하지만 그러한 휴리스틱 알고리즘은 지수 적 국소 최소값 (?)을 가질 수 있다고 생각합니다

— 자렉 두다
소스

실제 그래프 동 형사상 알고리즘의 킬러 예제가 반드시 SRG 일 필요는 없습니다. 여기 에서 논의한 Daniel Neuen과 Pascal Schweitzer의 논문 이 현재 가장 어려운 예를 제공합니다. 내 토론은 "다중 구성은 ... 기본적으로 무 방향 다중 에지 하이퍼 그래프에 적용되는 일반적인 CFI 구성"이라고 주장합니다. 이 구조는 더욱 단단해 지도록 수정되어 모든 이형성을 제거합니다. 이전에는 SRG가 없었지만 SRG가 아닌 것은 분명합니다.

— 토마스 클림 펠

PCA 변환에는 꽤 좋은 속성이 있기 때문에 포인트 세트의 주요 구성 요소를 찾아서 확인하면 도움이 될 것이라고 생각합니다.

— FazeL

ThomasKlimpel, 다른 어려운 사례의 고유 공간에 대해 말씀해 주시겠습니까? @ FazeL, PCA로부터의 상관 행렬의 고유 값은 회전 불변량의 예입니다. 회전에 의해서만 다른 조건이 필요합니다 (SRG의 경우 중요). 문제는 회전 불변량의 완전한 기초를 통해 충분한 조건을 얻는 것입니다-세트 (또는 다항식) 모듈로 회전을 완전히 결정합니다. 다항식의 일반적인 구조는 다음과 같습니다. arxiv.org/pdf/1801.01058 , 문제는 충분한 수의 (알려진) 독립적 인 불변량을 선택하는 방법입니다.

— Jarek Duda

이러한 그래프는 이미 고정 들면, 착색되는 ,되는 색 존재 2 개 노드가 색깔이있는 노드가 색이 있고, 색. 고유 공간의 측면에서,이 방법 당신은 차원의 여러 고유 공간 얻을 수 차원의, 그리고 더 많은 고유 공간 . 최소한 CFI 구성이 k- 정규 비 지향 그래프에 적용되는 경우 발생합니다. (그러나 걱정하지 마십시오. SRG의 동 형사상 역시 공개 된 문제입니다.)

k

$k$

2^{k - 1}

$2^{k-1}$

2^{k - 1}

$2^{k-1}$

2

$2$

— Thomas Klimpel

차원의 고유 공간은 실제로 더 작은 고유 공간으로 분리 될 수 있습니다. SRG의 경우에도 고유 공간이 1 개 이상이기 때문에 위의 논리는 단일 고유 공간이 있다고 제안합니다. 더 짧은 (보다 이론적 인) 논문에서 그림 4.2를 살펴보면 그래프의 모양을보고 이해하십시오.

2^{k - 1}

$2^{k-1}$

— Thomas Klimpel

나는 이것이 열려 있다고 생각합니다. 회전에서 동등성을 테스트하는 대신 일반 선형 그룹에서 동등성을 요청하는 경우 이미 3 차 다항식의 동등성을 테스트하는 것은 GI 하드 ( Agrawal-Saxena STACS '06 , 저자의 무료 버전 )이며 실제로는 대수학의 동 형사상을 테스트하는 것만 큼 어렵지 않습니다. 이제 GI 경도는 문제가 있지 않다는 증거가 아닙니다. 실제로 전체 질문은 GI를 넣을 수 있는지 여부입니다. $\mathsf{P}$ $\mathsf{P}$ 당신이 제안한 접근 방식으로. 그러나 입방체 형태의 동등성이 이미 GI보다 훨씬 더 어려워 보인다는 사실은 (예를 들어 GI와 달리 대수 동 형사상이 준 폴리 시간인지 아직 알지 못함) (a) 사람들이이 접근법에 대해 생각했고 아직 열려 있습니다.

비슷한 결과가 직교 그룹에 적용되는지 확실하지 않지만 결과가 유지되지 않으면 놀랍습니다 (예를 들어 3도에서 6 도로 이동하면).

— 조슈아 그로 호프
소스

고맙습니다. 읽을 거리가 많습니다. 다항식의 회전에 따라 다른 테스트도 3도에 대해 어려운가? 계수의 수는 O (dim ^ degree)이고 회전에는 dim (dim-1) / 2 계수가 있으므로 완전한 설명 모듈로 회전은 O (dim ^ degree) 독립 회전 불변에 의해 제공되어야합니다. 내가 회전 불변 (구성하는 방법을 알고 arxiv.org/pdf/1801.01058을 ), 독립 조건은 증명하기 어려운 것 같다,하지만 높은 의존도는 않을 것 같다 (?)

— Jarek Duda 보낸

@JarekDuda는 : 귀하의 코멘트에 당신이 만드는 같은 주장은 등가 선형 일반에 적용되는 대신에 제외시켰다 것 계수는 당신이 가진 것 ,하지만 사람들은 모두 . .. 불변 인 간의 의존성은 종종 매우 깊은 질문입니다. 또한 얼마나 많은 독립 불변량이 필요한지에 대한 질문 일뿐 만 아니라 (a) 폴리 타임에 필요한 불변량을 계산할 수 있으며 (b) 이러한 불변량을 폴리 시간으로 계산할 수 있습니까?

(\binom{d i m}{2})

$\binom{dim}{2}$

d i m^{2}

$dim^2$

Θ (d i m^{2})

$\Theta(dim^2)$

— Joshua Grochow

물론 많은 수의 불변량을 생성 할 수 있다면-다른 등가 유형 (?)에 해당되는지 알 수는 없지만 회전 불변량에는 모든 그래프에 하나의 불변성이있는 구성이 있으며 체계적인 구성이 있습니다. 큰 수, 예를 들어 2 차 다항식 x ^ T Ax에 대해 변하지 않는 Tr (A ^ k)에 대한 길이 k 사이클 그래프와 유사하다. 고정도 다항식의 경우, 우리는 폴리-시간에 충분한 수 (또는 훨씬 더 많은)의 불변량을 생성 할 수 있습니다. 나머지 문제는 그들 사이에 충분한 수의 독립적 인 것을 보장하는 것입니다.

— Jarek Duda