비합리적 가중치를 가진 최대 흐름 알고리즘에 대한 반례?

지방 파이프 휴리스틱 (최대 흐름에 대한 두 가지 알고리즘)이있는 Ford-Fulkerson 또는 Edmonds-Karp는 일부 가중치가 비합리적 일 경우 정지 할 필요가 없습니다. 사실, 그들은 심지어 잘못된 가치 에 수렴 할 수도 있습니다 ! 그러나 문헌에서 찾을 수있는 모든 예제 [아래 참조와 여기에 참조]는 단일 비합리적인 값을 사용합니다 : 켤레 황금 비율 및 기타 값 합리적이거나 의 합리적인 배수입니다 . 내 주요 질문은 다음과 같습니다$\phi' = (\sqrt{5}-1)/2$$\phi'$

일반적인 질문 : 다른 비이성적 인 값은 어떻게됩니까?

예를 들어 (그러나 게시하기 위해이 모든 것에 답해야 할 필요는 없습니다. 위의 일반적인 질문에 해당하는 질문이나 다른 질문에 대한 흥미로운 답변을 찾을 수 있습니다) :

1. 주어지면 그러한 반례를 구성 할 수 있습니까?$\alpha \in \mathbb{R}$

2. 더 약하게 :이 예는 사용 비이성적 값 것으로 알려져있다 본질적으로 다른 에서 ? 즉, (또는 의 합리적 배수가 아닌 일부 가 있고 Ford-Fulkerson 및 / 또는 Edmonds-에 대한 반례가 있습니다. 모든 가중치가 안에있는 Karp ?$\phi'$$\alpha$$\phi'$$\mathbb{Q}(\phi')$$\mathbb{Q}(\alpha)$

3. 다른 방향에서, 무리수가 존재하는 되도록 포드 Fulkerson에 (RESP. 에드먼드 - 카프가)의 정확한 값을 정지하는 모든 그래프 가중치이다를 모든 ? (또는 ?)$\alpha$$\mathbb{Q} \cup \{q\alpha : q \in \mathbb{Q}\}$$\mathbb{Q}(\alpha)$

모든 경우에, 나는 실제 RAM 모델과 같은 것을 가정하고 싶습니다. 그래서 상수의 정확한 산술과 정확한 비교는 일정한 시간에 이루어집니다.

(임의의 실제 가중치에서도 강력한 다항식 시간에 실행되는 것으로 알려진 다른 최대 흐름 알고리즘이 있으므로 이러한 유형의 질문은 더 이상 탐구되지 않았을 수 있습니다. , 나는 아직도 이것에 대해 궁금하다.)

참고 문헌

• Ford-Fulkerson에 대한 최소한의 반례는 Zwick TCS 1999에 의해 주어졌습니다.

• Edmonds-Karp에 대한 반례는 Queyranne 또는 Queyranne Math에 의해 제공되었습니다 . 오퍼 입술 1980 년이지만 그 것이 최소인지는 모르겠습니다.

• 이것들은 Jeff Erickson의 강의 노트 에서 찾을 수 있으며 , 첫 번째 섹션은 23.5 섹션이고 두 번째 섹션은 강의 23의 연습 14입니다.

대답은 모든 비합리적인 숫자에 대해 $r$네트워크가 있습니다

• 와 $n=6$ 정점과 $m=8$ 호,
• 7 개의 호는 정수 용량을 가지며
• 하나의 아크가 용량을 갖는 것 $r$,
• Ford-Fulkerson이 종료하지 못할 수도 있습니다.

이것은 논문에서 입증되었습니다

다카하시 토시히코 (Toshihiko Takahashi) :
"Ford-Fulkerson 최대 흐름 절차가 종료되지 않는 가장 단순하고 작은 네트워크"
정보 처리 저널 24, pp 390-394, 2016.
링크 : https : //www.jstage.jst.go. jp / article / ipsjjip / 24 / 2 / 24_390 / _article

내가 실제로 자연 스럽지는 않지만 그다지 재미없는 것을 발견 한 질문에 감사드립니다.

Ford-Ferkulson 부분을 살펴본 결과 반례이며 그래프가 비합리적 용량 α (단일 α에 대해 작동 할 수 있음)가 하나 뿐인 그래프를 찾았습니다.

: 여기에 PDF는 내 시도 합산되어 https://louis.jachiet.com/tmp/jQwbrkSMLNU_draft.pdf (미안 그것은 잠시 비트 간결한 인을하지만, 질문에 질문에 대해 주저하지 않습니다)

분명히 포드 펠 커슨 (Ford-Felkurson)은 우리가 원하는대로 증강 경로를 선택할 수있게 해 준다. 나는 이것이 에드먼드-카프에게 가능할 지 확신 할 수 없다.