단일체가 언어를 인식한다는 문장의 일반화

허락하다 $A$유한 한 알파벳이어야합니다. 주어진 언어$L \subseteq A^{\ast}$구문 모노 이드 $M(L)$공식적인 언어 이론에서 잘 알려진 개념입니다. 또한, monoid$M$ 언어를 인식 $L$ morphism이 있다면 $\varphi : A^{\ast} \to M$ 그런 $L = \varphi^{-1}(\varphi(L)))$.

그런 다음 좋은 결과를 얻습니다.

단일체 $M$ 인식 $L \subseteq A^{\ast}$ 만약 $M(L)$ 서브 모노 이드의 동형 이미지 $M$ (로 작성 $M(L) \prec M$).

위의 내용은 보통 정규 언어와 관련하여 설명 된 것이며, 위의 단일체는 모두 유한합니다.

이제 우리가 대체한다고 가정 $A^{\ast}$ 임의의 단일체 $N$우리는 $L \subseteq N$ 에 의해 인정 $M$ 형태가 존재하는 경우 $\varphi : N \to M$ 그런 $L = \varphi^{-1}(\varphi(L))$. 그렇다면 우리는 여전히$M$ 인식 $L$그런 다음 $M(L) \prec M$ (S. Eilenberg, Automata, Machines and Languages, Volume B 참조) 그러나 대화가 유지됩니까?

에 대한 증거에서 $A^{\ast}$ 컨버스는 다음과 같은 속성을 이용하여 증명됩니다. $N = \varphi(M)$ 어떤 형태를 위해서 $\varphi : M \to N$ 과 $\psi : A^{\ast} \to N$ 또한 형태론입니다, 우리는 찾을 수 있습니다 $\rho : A^{\ast} \to M$ 그런 $\varphi(\rho(u)) = \psi(u)$ 단순히 일부를 선택하여 보류 $\rho(x) \in \varphi^{-1}(\psi(x))$ 각각 $x \in A$ 이것을 형태로 확장 $A^{\ast}$ 에 $M$. 그러나 이것은 임의의 monoid에는 적용되지 않습니다$N$위의 대화가 거짓이기를 기대합니다. 그리고 그것이 틀린 경우, 옆에 어떤 종류의 모노 이드가 있는지$A^{\ast}$ 그것은 여전히 ​​사실이며, 그 monoids는 연구 문헌에서 어떤 관심을 받았습니까?

그렇습니다.이 monoids는 연구 문헌에서 주목을 받았으며 실제로 어려운 질문으로 이어졌습니다.

정의 . 단일체$N$다음 속성이있는 경우 프로젝션 이라고 합니다.$f:N \to R$ 단일체 형태이며 $h:T \to R$ 의심스러운 형태이며, 형태가 존재합니다 $g:N \to T$ 그런 $f = h \circ g$.

정의 4.1.33 바로 다음의 [1]에서 프로젝션 모노 아이드에 대한 긴 토론을 찾을 수 있습니다. 특히 모든 투영 유한 반 그룹은 밴드 (모든 요소가 dem 등원 인 반 그룹)임을 알 수 있습니다. 그러나 그 반대는 사실이 아니며 유한 한 반 그룹이 투영 적인지 여부를 결정하는 것은 실제로 열린 문제입니다.

[1] J. B. 로즈와 스타인버그$q$유한 한 반 그룹 이론 . 수학의 스프링 어 논문. Springer, New York, 2009. xxii + 666 pp. ISBN : 978-0-387-09780-0