구간에 소수가 포함되는지 여부 결정

자연수의 구간에 소수가 포함되어 있는지 여부를 결정하는 복잡성은 무엇입니까? 에라토스테네스의 체의 변형은 알고리즘을 제공하며 , 여기서 L 은 구간의 길이이고 ~ 는 구간 의 시작점에서 다 로그 인자를 숨긴다. ( L 혼자서) 더 잘할 수 있습니까?$\tilde O(L)$$L$$\sim$$L$

면책 조항 : 저는 숫자 이론의 전문가가 아닙니다.

짧은 대답 : "합리적인 수 이론 추측"을 기꺼이하고자한다면, 시간 p o l y l o g ( n ) 의 간격 에 소수가 있는지 여부를 알 수 있습니다 . 그러한 가정을 기꺼이하지 않으면 Odlyzko로 인해 n 1 / 2 + o ( 1 ) 을 달성 하는 아름다운 알고리즘 이 있으며 이것이 가장 잘 알려져 있다고 생각합니다.$[n, n+\Delta]$$\mathrm{polylog}(n)$$n^{1/2 + o(1)}$

밀접하게 관련된 문제에 대한 많은 유용한 정보와 매우 유용한 링크 : 소수를 찾는 결정 론적 알고리즘에 대한 PolyMath 프로젝트 .

긴 대답 :

이것은 어려운 문제이며 활발한 연구 분야이며, 소수 사이의 격차에 관한 어려운 문제와 밀접한 관련이있는 것 같습니다. 귀하의 문제는 도덕적으로 결정적으로 과 2 n 사이의 소수를 찾는 문제와 도덕적으로 매우 유사합니다. 최근 PolyMath 프로젝트 의 주제였습니다$n$$2n$ . (이러한 질문에 실제로 뛰어 들기를 원한다면 그 링크를 시작하는 것이 좋습니다.) 특히 두 문제에 대한 최상의 알고리즘은 본질적으로 동일합니다.

두 경우 모두 최상의 알고리즘은 소수 사이의 간격 크기에 크게 의존합니다. 특히, 이 항상 n 과 n + f ( n ) 사이에 소수가 있고 ( f ( n ) 을 효율적으로 계산할 수있는) 경우, 항상 시간에 소수를 찾을 수 있습니다 p o l y 다음과 같이 l o g ( n ) ⋅ f ( n ) . n 과 n + 사이에 소수가 있는지 확인하려면$f(n)$$n$$n + f(n)$$f(n)$$\mathrm{polylog}(n) \cdot f(n)$$n$$n + \Delta$먼저 인지 확인하십시오 . 그렇다면 yes를 출력하십시오. 그렇지 않으면, n 과 n + Δ 사이의 정수를 반복 하고 각각의 우선 순위를 테스트하고 소수를 찾으면 yes라고 대답하십시오. (이것은 결정 론적으로 수행 될 수 있으므로 결정적으로 n 과 2 n 사이의 소수를 찾는 이유입니다$\Delta \geq f(n)$$n$$n + \Delta$$n$$2n$ 것이 특정 간격에 소수가 있는지 여부를 결정하는 것과 밀접한 관련이 있습니다.)

소수가 우리가 생각하는 것처럼 행동한다면, 이것은 이야기의 끝입니다 (최대 요소). 특히, 우리가 취할 수 있기를 기대 F ( N ) = O ( 로그 2 N을 ) . 이것은 Harald Cramér의 이름을 따서 Cramér의 추측 으로 알려져 있으며 , 현재로서는 그 범위가 매우 먼 것 같습니다. 그러나 내가 아는 한 널리 알려져 있습니다. (예를 들어, 소수는 각 정수 n ≥ 3 을 포함하여 얻은 임의의 정수 세트처럼 행동한다는 휴리스틱으로부터이 추측에 도달합니다.$\mathrm{polylog}(n)$$f(n) = O(\log^2 n)$$n \geq 3$확률 임의로 무작위로 )$1/\log n$

훨씬 약한 경계 f ( n ) ≤ O ( √ 를 암시하는 많은 추측이 있습니다.Legendre의 추측과 같은 n ). (나는 그것이 존재한다고 생각하지만 중간 경계를 암시하는 것으로 추측되는 추측을 모른다.) 그리고 리만 가설은 유사한 경계f(n)≤O( √ 를 암시하는 것으로 알려져있다.$f(n) \leq O(\sqrt{n})$$f(n) \leq O(\sqrt{n} \log n)$$n^{o(1)}$ )을 훨씬 간단한 알고리즘과 일치시킵니다.

$\widetilde{O}(n^{0.525})$$n^{0.025}$