비교할 수없는 자연수

"가장 큰 숫자 게임 이름 지정"은 두 명의 플레이어에게 비밀 번호를 적어달라고 요청하며, 승자는 큰 숫자를 쓴 사람입니다. 이 게임은 일반적으로 플레이어가 특정 시점에서 평가 된 기능을 기록 할 수 있도록 허용하므로 $2^{2^{2^{2}}}$ 도 기록 할 수 있습니다.

Busy Beaver 기능인 $BB(x)$ 값은 $x$ 큰 값에 대해 (ZFC 또는 합리적인 일관된 공리 시스템에서) 결정될 수 없습니다 . 특히, $BB(10^4)$ 는 이 논문에 따라 결정될 수 없다 . 그러나 이것이 Busy Beaver 기능의 값을 비교할 수 없다는 것을 의미하지는 않습니다. 예를 들어, $BB(x)$ 가 엄격하게 단조 임을 증명할 수 있습니다 .

플레이어가 초등 함수, 자연수 및 Busy Beaver 함수로 구성된 표현을 작성할 수 있다고 가정합니다. ZFC에서 승자 결정이 불가능하다는 것을 ZFC에서 증명할 수있는 두 선수가 기록 할 수있는 두 가지 표현이 있습니까 (ZFC가 일관성이 있다고 가정)?

편집 : 원래이 질문은 "... 계산 기능, 자연수 및 바쁜 비버 기능의 임의의 조합"이라고 말했습니다.

만약 [이 웹 사이트에서 경건하지 않고 표현할 수없는 것 이면 $f(x)$ 가 $3$ 그렇지 않은 경우 이면 와 은 비교할 수 없습니다. $BB(x) >$ $7$ $f(10^4)$ $6$

$f$ 는이 게임에서 누군가가 사용할 수있는 합리적인 기능이 아니기 때문에 저를 만족시키지 않습니다 . 그래도 이것에 대한 내 직감을 표현하는 방법을 알지 못하므로 조각 함수를 피하기 위해 질문을 제한했습니다.

computability undecidability

— 스텔라 비더 맨
소스

의 결정 불가능 성을 개별 비트로 확장 할 수 있습니까? 그렇다면

의 3 번째 최하위 비트를 8 번째 최하위 비트와 비교하는 것과 같은 작업을 수행해야합니다 .

B B (10^{4})

$BB(10^4)$

B B (10^{4})

$BB(10^4)$

— mhum

값 때문에 추천 @mhum 질문 까다

실제로 따라 인코딩된다. 예를 들어

가 항상 짝수 인 인코딩이 있습니다 . 본인의 이해는 해당 줄에있는 모든 질문이 인코딩에 따라 사소하게 계산 가능하거나 공개되어 있다는 것입니다.

B B (x)

$BB(x)$

B B (x)

$BB(x)$

— Stella Biderman

이 게시물의 답변에 따르면 : cstheory.stackexchange.com/questions/9652/… , 그것은 BB가 실제로 단조로운 것처럼 보입니다

— Avi Tal

그러한 게임을하는 기술은 규칙을 구부리는 것이므로 일부 기능이 불합리하다고 말하는 것은 아닙니다. 우리가 게임을한다면, 내가 생각할 수있는 가장 역겨운 기능 (그리고 나는 논리 학자)으로 가장 확실하게 당신을 칠 것입니다.

— Andrej Bauer

당신이 "결정 불가"라고 말할 때 나는 그것이 ZFC와 같은 이론과 무관하다는 것을 의미한다고 가정합니다. ZFC가 일관성이 있다고 가정 할 때 ZFC에 의해 결정되지 않은 (자연수 , ) 과 같은 진술이있을 것 입니다. 그렇지 않으면 ZFC에서 그러한 문장의 증거를 검색 하여 함수 계산할 수 있기 때문 입니다.

비 (미디엄) > 엔

$B(m)>n$

m

$m$

n

$n$

B

$B$

이후 완료 튜링 일부 튜링 기계가 콘 (ZFC)와 $B$ $\Phi$ $\iff$ 는 oracle (입력 0에서)와 Con (ZFC)에서 사용 가능 $\Phi$ $B$ $\neg$ $\iff$ 거절한다. $\Phi$

이제 실제로 Con (ZFC)이 true라고 가정 할 때 우리는 받아들이고 계산에 사용 된 팩트 , 있다는 것을 알고 있습니다. 오라클 액세스는 이런 식으로 작동합니다). 그런 다음 은 거짓이지만이 사실은 ZFC에서 증명할 수 없습니다. 그렇지 않으면 ZFC는 자체 일관성을 증명합니다. 물론 이것은 로 다시 쓸 수 있습니다 $\Phi$ $B(m_i)=n_i$ $1\le i\le k$

\sum_{나는 = 1}^{케이} (비 ({미디엄}_{나는}) - 엔_{나는})^{2} > 0

$\sum_{i=1}^k (B(m_i)-n_i)^2>0$

그리고 틀림없이 (*)는귀하의 질문에예답변합니다.

\begin{matrix} (*) & \sum_{나는 = 1}^{케이} 비 ({미디엄}_{나는})^{2} + 엔_{나는}^{2} > \sum_{나는 = 1}^{케이} 2 비 ({미디엄}_{나는}) 엔_{나는} \end{matrix}

$\sum_{i=1}^k B(m_i)^2+n_i^2>\sum_{i=1}^k 2B(m_i)n_i\tag{*}$

그러나, 나는 우리가이 번호를 알아낼 수 있다고 생각하지 않습니다 , 쿼리가 적응하기 때문이다 (앞의 질문에 대한 대답에 따라 달라 대해 질문 무엇, 우리는 그 답을 모른다). $m_i$ $n_i$

— 비요른 호스 한센
소스

이것은 내가 찾고있는 것에 대한 훌륭한 존재 증거입니다. 그러나 나는 구체적으로 그러한 방정식의 실제 예를 따릅니다. 어떤 종류의 표현으로 우리는

쓸 수 있습니다. 당신은 또한 "결정할 수없는"부정확 한 사용에 대해 맞습니다, 나는 나의 질문을 수정했습니다.

n, m

$n,m$

— Stella Biderman

n_{0} = B (7910)

$n_0=B(7910)$

B (7910) \leq n_{0}

$B(7910)\le n_0$