이 이론에 대한 반 결정 절차가 있습니까?

다음과 같은 유형의 이론이 있습니다.

|- 1_X : X -> X
f : A -> B, g : B -> C |- compose(g,f) : A -> C
F, f : A -> B |- apply(F,f) : F(A) -> F(B)

모든 용어에 대한 방정식

f : A -> B, g : B -> C, h : C -> D |- compose(h,compose(f,g)) = compose(compose(h,f),g)
f : A -> B |- compose(f,1_A) = f
f : A -> B |- compose(1_B,f) = f
F |- apply(F,1_X) = 1_F(X)
f, f : A -> B, g : B -> C |- apply(F,compose(g,f)) = compose(apply(F,g),apply(F,f))

나는 일련의 가상의 방정식이 주어지면이 이론에서 방정식을 증명할 수있는 반 결정 절차를 찾고 있습니다. 완전한 의사 결정 절차가 존재하는지 여부도 명확 하지 않습니다. 그룹에 대한 단어 문제를 인코딩 할 수있는 방법이없는 것 같습니다. 닐 크리슈나 스와미 (Neel Krishnaswami)는이 문제에 단어 문제를 인코딩하는 방법을 보여 주었기 때문에 일반적인 문제는 결정할 수 없습니다. 연관성 및 동일성 하위 이론은 이론의 단일체 모델을 사용하여 쉽게 결정될 수 있지만, 전체 문제는 합동 종결보다 어렵다. 모든 참조 또는 포인터는 가장 환영받을 것입니다!

다음은 자동으로 증명할 수있는 명확한 예입니다.

f : X -> Y, F, G,
a : F(X) -> G(X), b : G(X) -> F(X),
c : F(Y) -> G(Y), d : G(Y) -> F(Y),
compose(a,b) = 1_F(X), compose(b,a) = 1_G(X),
compose(c,d) = 1_F(Y), compose(d,c) = 1_G(Y),
compose(c,apply(F,f)) = compose(apply(G,f),a)
|- compose(d,apply(G,f)) = compose(apply(F,f),b)

$X$$x,x' : X \to X$$x \circ x' = 1_X$$x' \circ x = 1_X$$x\circ y\circ z$$z' \circ y' \circ x'$

그러나 문제 그룹이라는 단어는 많은 특정 그룹에서 해결할 수 있으므로 문제에 대한 자세한 내용이 있으면 도움이 될 수 있습니다. 특히, 그룹 이론에서 많은 도움을 줄 수있는 아이디어 중 하나는 유한하게 생성 된 그룹을 절대적으로 표현할 수 있다는 것입니다.

편집 : 내가 생각한 또 다른 생각은 관심있는 콘크리트 모델이 방정식의 유효성을 검사하더라도 상관 관계를 추가하는 것이 여전히 유용한 도구 일 수 있다는 것입니다. 범주 형 상황에서는 종종 nice의 가치에 대해 "nice"방정식 만 원하기 때문에 방정식을 사용하여 너무 악한 해를 배제 할 수 있습니다. 의사 결정 절차는 여전히 불완전 할 수 있지만 "가능한 깊이의 증명 트리를 7까지 검색하는 것"보다 더 자연스럽게 솔루션을 특성화 할 수 있습니다.

행운을 빕니다; 당신이하고있는 그 functor 일은 꽤 멋져 보입니다!

참고 문헌 : Dexter Kozen, Christoph Kreitz 및 Eva Richter의 범주 이론에서 증명 자동화 .