종속 유형 검사가 결정 가능함을 보여주는 입증 기술

나는 현재 작업중 인 의존적 인 미적분학에 대한 유형 검사가 결정 가능하다는 것을 보여줄 필요가있는 상황에 처해 있습니다. 지금까지 나는 시스템이 강력하게 정규화되고 정의 평등이 결정 가능하다는 것을 증명할 수 있었다.

필자가 읽은 많은 참고 문헌에서 유형 검사의 결정 가능성은 강력한 정규화의 목록으로 나열되어 있으며 그러한 경우에는 그것을 믿지만 실제로 어떻게 표시하는지 궁금합니다.

특히, 나는 다음에 갇혀있다.

• 잘 입력 된 용어가 강력하게 정규화된다고해서 알고리즘이 잘 입력되지 않은 입력에서 영원히 반복되지는 않습니다
• 논리 관계는 일반적으로 강력한 정규화를 나타내는 데 사용되므로 유형 검사 용어를 진행할 때 편리한 감소 메트릭이 없습니다. 따라서 내 유형 규칙이 구문을 지시하더라도 규칙 적용이 결국 종료된다는 보장은 없습니다.

궁금한 점은 누구든지 의존적으로 유형이 지정된 언어에 대한 유형 검사의 결정 가능성에 대한 좋은 참조가 있습니까? 작은 핵심 미적분학이라면 괜찮습니다. 결정 가능성을 보여주는 증거 기술에 대해 논의하는 모든 것이 좋습니다.

유형 검사의 경우에는 잘 작동하지만 실제로는 미묘한 부분이 있습니다. 여기에는 많은 관련 스레드에서 나타나는 것처럼 보이기 때문에 여기에 문제를 기록하고 "표준"종속성 유형 이론에서 유형을 검사 할 때 문제가 발생하는 이유를 설명하려고 시도합니다 (고의로 모호합니다. 이러한 문제는 관계없이 발생하는 경향이 있기 때문에) :

${\cal D}$$\Gamma\vdash t:A$${\cal D}'$$\Gamma \vdash A:s$$s$$u\leq t$$B$$\Delta$$\cal D''$$\Delta\vdash u:B$

이 좋은 사실은 증명하기가 다소 어려우며, 매우 불쾌한 반증으로 상쇄됩니다.

사실 2 : 일반적으로, 와 하지 의 하위 유도 !$\cal D'$$\cal D''$ D$\cal D$

이것은 타입 시스템의 정확한 공식에 따라 다르지만 실제로 구현 된 대부분의 "운영"시스템은 사실 2를 만족시킵니다.

즉, 유도 유도를 통해 추론 할 때 "하위 용어"를 전달할 수 없거나, 무언가를 증명하려는 용어의 유형에 대해 귀납적 진술이 사실이라는 결론을 내릴 수 없습니다.

예를 들어 형식 변환이있는 시스템은 형식이없는 변환이있는 시스템과 같은 무해한 진술을 증명하려고 할 때이 사실은 당신을 매우 심하게 물리칩니다.

그러나 형식 유추의 경우 용어의 구조를 유도하여 동시 유형 및 정렬 (유형의 유형) 유추 알고리즘을 제공 할 수 있으며, Andrej가 제안한 것처럼 유형 지정 알고리즘이 포함될 수 있습니다. 주어진 용어 (및 문맥 , 및 와 같이 를 실패하거나 찾습니다 . 후자를 찾기 위해 유도 가설을 사용할 필요는 없습니다 파생, 특히 위에서 설명한 문제를 피하십시오.$t$$\Gamma$$A, s$$\Gamma\vdash t:A$$\Gamma\vdash A : s$

중요한 경우 (실제로 변환이 필요한 유일한 경우)는 응용 프로그램입니다.

infer(t u):
   type_t, sort_t <- infer(t)
   type_t' <- normalize(type_t)
   type_u, sort_u <- infer(u)
   type_u' <- normalize(type_u)
   if (type_t' = Pi(A, B) and type_u' = A' and alpha_equal(A, A') then
      return B, sort_t (or the appropriate sort)
   else fail

정규화에 대한 모든 호출은 잘 된 용어로 수행되었는데, 이는 infer성공 의 불변입니다 .

그런데 Coq는 형식 검사 fix를 시도하기 전에 문장 의 본문을 정규화하기 때문에 결정 가능한 형식 검사가 없습니다 .

어쨌든, 잘 정형 된 용어의 정상적인 형태에 대한 한계는 천문학적이므로 결정 성 이론은이 시점에서 대부분 학문적입니다. 실제로, 인내심이있는 한 유형 검사 알고리즘을 실행하고 그 후에 완료되지 않은 경우 다른 경로를 시도하십시오.