건축 미적분의 강력한 정규화 증명 이해

건축 미적분에 대한 강력한 정규화의 증거를 이해하는 데 어려움이 있습니다. 나는 허먼 거버 (Herman Geuvers)의 논문 "건축 미적분학에 대한 강력하고 정규화 된 증거"를 증명하려고 노력한다.

나는 추론의 주요 노선을 잘 따를 수 있습니다. 거버는 각 유형 에 대해 유형 변수 의 일부 평가에 따라 해석 해석을 구성합니다 . 그런 다음 그는 용어 변수 의 일부 평가를 기반으로 일부 용어 해석 를 구성하고 유효한 평가를 위해 어설 션 증명합니다 모든 대해 . $T$ $[\![T]\!]_\xi$ $\xi(\alpha)$ $(\!|M|\!)_\rho$ $\rho(x)$ $(\!|M|\!)_\rho \in [\![T]\!]_\xi$ $\Gamma\vdash M:T$

내 문제 : 시스템 F 유형과 같은 쉬운 유형의 경우 형식 해석 는 실제로 용어 집합이므로 어설 션 의미가 있습니다. 그러나 더 복잡한 유형의 경우 해석 는 용어 세트가 아니라 적절한 함수 공간의 함수 세트입니다. 나는 함수 공간의 구성을 거의 이해한다고 생각하지만 더 복잡한 경우 에 의미를 지정할 수는 없습니다 타입 . $[\![T]\!]_\xi$ $(\!|M|\!)_\rho \in [\![T]\!]_\xi$ $[\![T]\!]_\xi$ $(\!|M|\!)_\rho \in [\![T]\!]_\xi$ $T$

누구든지 증거에 대해 더 이해하기 쉬운 프레젠테이션을 설명하거나 링크를 줄 수 있습니까?

편집 : 질문을 더 명확하게 만들어 보겠습니다. 컨텍스트 에는 유형 변수 및 객체 변수에 대한 선언이 있습니다. A 형 평가는 유효한 모든 경우 와 다음 유효합니다. 그러나 의 AN 요소가 될 수있다 및 아니라 . 따라서 대해 유효한 용어 평가를 정의 할 수 없습니다 . 는 함수 공간의 함수가 아닌 용어 여야합니다. $\Gamma$ $\alpha:A$ $(\alpha:A) \in \Gamma$ $\Gamma\vdash A:\square$ $\xi(\alpha) \in \nu(A)$ $\nu(A)$ $(SAT)^*$ $SAT$ $\rho(\alpha)$ $\rho(\alpha)$

편집 2 : 작동하지 않는 예

다음과 같은 유효한 파생을 만들어 봅시다 :

\begin{array}{llll} [] & ⊢ & * : ◻ & axiom \\ [α : *] & ⊢ & α : * & variable introduction \\ [α : *] & ⊢ & * : ◻ & weaken \\ [] & ⊢ & (Π α : * . *) : ◻ & product formation \\ [β : Π α : * . *] & ⊢ & β : (Π α : * . *) & variable introduction \end{array}

$\begin{array}{llll} [] &\vdash & *:\square &\text{axiom} \\ [\alpha:*] &\vdash& \alpha:* &\text{variable introduction} \\ [\alpha:*] &\vdash& *:\square &\text{weaken} \\ [] &\vdash & (\Pi \alpha:*.*):\square &\text{product formation} \\ [\beta:\Pi \alpha:*.*] &\vdash& \beta:(\Pi \alpha:*.*) &\text{variable introduction} \end{array}$

마지막 컨텍스트에서 유효한 유형 평가는 . 이 유형 평가에는 유효한 용어 평가가 없습니다. $\xi(\beta) \in \nu(\Pi \alpha:*.*) = \{f| f:\text{SAT} \to \text{SAT}\}$

— Helutut
소스

이것을 읽는 사람들의 절반은 가 SAT 라고 생각할 것입니다 . 그것이 무엇인지 설명해야합니다. 또한, 당신의 파생은 조금 이상해 보입니다. 두 번째 줄은 결론에 를 언급해서는 안되며 , 와 같은 것을 읽어야합니다 .

S A T

$SAT$

α

$\alpha$

[α : *] ⊢ * : ◻

$[\alpha : *] \vdash * : \Box$

— Andrej Bauer

허먼 거버 (Herman Geuvers)라는 표기법을 사용하고 있습니다 (이 도메인에서는 표준으로 보입니다). 는 포화 된 모든 람다 식 집합입니다. 내 파생의 두 번째 줄은 순수한 유형 시스템의 변수에 대한 도입 규칙입니다. 이 규칙은 여기서 는 일종의 정렬입니다.

SAT

$\text{SAT}$

\frac{Γ ⊢ T : s}{Γ, x : T ⊢ x : T}

$\frac{\Gamma \vdash T:s}{\Gamma,x:T\vdash x:T}$

s

$s$

— helmut

두 번째 줄을 어떻게 얻었는지 이해하지만 세 번째 줄을 형성하는 올바른 전제가 아닙니다. 세 번째 줄에 어떤 규칙이 적용됩니까?

— Andrej Bauer

PTS의 제품 구성 규칙은 . 구성의 미적분학에는 규칙 이 있습니다. 이렇게하면 첫 번째와 두 번째 줄을 사용하여 세 번째 줄을 도출 할 수 있습니다. 세 번째 줄에 내가 추가 한 것이 없어졌습니다.

\frac{r (s_{1}, s_{2}, s_{3}; Γ ⊢ A : s_{1}; Γ, x : A ⊢ B : s_{2}}{Γ ⊢ (Π x : A . B) : s_{3}}

$\frac{r(s_1,s_2,s_3;\, \Gamma\vdash A:s_1;\: \Gamma,x:A\vdash B:s_2}{\Gamma\vdash (\Pi x:A.B): s_3}$

r (*, *, *)

$r(*,*,*)$

— helmut

그런 다음 첫 번째 줄에서 ?를 . 아니면 와 어딘가에 섞었습니까? 두 번째 줄은 제품 구성 규칙의 두 번째 전제가 될 수 없습니다. 이는 와 같은 형식을 만들려고하기 때문입니다 대신 .

[] ⊢ * : *

$[] \vdash * : *$

*

$*$

◻

$\Box$

\prod α : * . α

$\prod \alpha : * . \alpha$

\prod α : * . *

$\prod \alpha : * . *$

— Andrej Bauer

불행히도, 나는 Geuvers '계정보다 초보자에게 친숙한 리소스가 더 있는지 잘 모르겠습니다. Chris Casinghino 의이 메모를 사용해보십시오. 여기에는 여러 가지 증거가 매우 상세하게 설명되어 있습니다.

나는 당신의 혼란의 요점을 이해하지는 못하지만, 주목할 한 가지 중요한 점은 고전적인 Barendregt 텍스트 에서 입증 된 다음의 정리 (롤 5.2.14)입니다 .

Γ ⊢ M : T \Rightarrow Γ ⊢ T : * or ◻

$\Gamma \vdash M:T\ \Rightarrow\ \Gamma \vdash T:*\mbox{ or }\square$

이 수단 동안 수 어떤 복잡한 함수가 될 경우 다음 보유 세트이어야 용어 . $[\![T]\!]_\xi$ $\Gamma \vdash M:T$ $[\![T]\!]_\xi$

이것은 인 경우에만 개요 (3.1 절)에 설명되어 있습니다 우리의 기대와 일치하는 유형, 즉 해석은 집합이어야합니다 (실제로 !) $(\!|t|\!)_\sigma\in[\![T]\!]_\xi$ $\Gamma \vdash t:T :*$ ${\cal V}(*)\subseteq{\cal P}(\mathrm{Term})$ ${\cal V}(*)=\mathrm{SAT}$

우리는 "기본 종류"(여기 ) 에만 관심 이 있지만 유형 이론의 일반적인 상황으로 , 더 높은 종류의 것들에 대한 의미를 정의해야합니다 (따라서 ). 그런 다음 유형별로 거주하는 종류 만 (및 이지만 실제로 중요하지는 않기 때문에) 일이 끝납니다 . $*$ $\mathrm{SAT}^*$ $*$ $\square$

— 코디
소스

설명 주셔서 감사합니다. 그것은 Geuver의 증명에 사용 된 기능을 이해하지 못하는 문제를 해결합니다. 나는 이미 Geuver의 논문을 읽고 다시 읽었다는 의혹을 가지고 있었지만, 당신은 그것을 분명하게 만들었습니다.

— helmut