폴리 토프의 그래프에서 정점의 이웃을 효율적으로 균일하게 샘플링 할 수 있습니까?

정의 된 폴리 토프 $P$ 있습니다. $\{ x : Ax \leq b, x \geq 0\}$

질문 : 정점 $v$ 가 $P$ 인 경우 의 그래프에서 $v$ 의 이웃에서 균일하게 샘플링하는 다항식 시간 알고리즘이 있습니까? (차원의 방정식, 방정식의 수 및 의 표현 . 방정식의 수는 차원에서 다항식이라고 가정 할 수 있습니다.) $P$ $b$

업데이트 : 나는 이것이 NP-hard라는 것을 보여줄 수 있다고 생각합니다. 논쟁을 설명하는 대답을보십시오. (그리고 $NP$ -hard에 의해 , 나는 다항식 시간 알고리즘이 $RP = NP$ 임을 증명할 것이라는 것을 의미합니다 ... 올바른 용어가 여기 있는지 확실하지 않습니다.)

업데이트 2 : $NP$ 경도 (오른쪽 조합 폴리 토프 제공)에 대한 2 줄의 증거가 있으며 Khachiyan의 기사를 찾을 수있었습니다. 설명 및 링크는 답변을 참조하십시오. :-디

동등한 문제 :

주석에서 Peter Shor는이 질문이 주어진 폴리 토프의 정점에서 균일하게 샘플링 할 수 있는지에 대한 질문과 동일하다고 지적했습니다. (필자는 등가가 이렇게 가고 생각 : 한 방향에서, 우리는 폴리 토프의에서 갈 수있는 $P$ 정점으로 $v$ 에서 정점 그림과 $v$ , $P/v$ , 그리고 정점 샘플링 $P/v$ 의 이웃을 샘플링에 해당합니다 $v$ 에 $P$ . 다른 방향에서는이 폴리 토프의으로부터 이동 수 $P$ 폴리 토프의 행 $Q$ 정점과 콘을 추가하여 하나의 높은 치수 $v$ 베이스 $P$ . 그런 다음 에서 $v$ 의 이웃 을 샘플링하는 것은 의 꼭짓점을 샘플링하는 것과 같습니다 .) $Q$ $P$

이 질문의 공식화는 전에 요청되었습니다 : /mathpro/319930/sampling-uniformly-from-the-vertices-of-a-polytope

— 로렌조 나짓
소스

나는 당신의 질문에 대한 답을 모르지만, 내 지식으로는 명시 적으로 주어진 폴리 토프의 정점을 균일하게 샘플링 할 수있는 알려진 NP 경도는 없습니다. 예를 들어, 대략 샘플링주기는 NP-hard입니다. 그러나 정점이 인코딩 사이클을 갖는 선형 프로그램이 있다면 사이클 길이를 최적화하여 Hamiltonian-Cycle을 해결할 수 있습니다.

— Heng Guo

또 다른 언급은 질문에 긍정적 인 대답이 있더라도 정점에 대해 균일 한 샘플러를 생성하지 않는다는 것입니다 (0-1 폴리 토프 추측을 가정). 가장 흥미로운 경우에 폴리 토프의 골격은 규칙적이지 않으며 각도는 기하 급수적으로 변할 수 있습니다.

— Heng Guo

@HengGuo 댓글을 다시 한 번 감사드립니다. 매우 도움이됩니다. 지수가 기하 급수적으로 변하는 좋은 예를 알고 있습니까? (이것이 일반적인 폴리 토프에서 일어날 수 있다는 것은 놀랄 일이 아닙니다. 당신의 머리 꼭대기에있는 것을 알고 있다면 조합 적 예를 갖는 것이 좋을 것입니다.)

— Lorenzo Najt

이분 그래프의 독립 세트 폴리 토프를 고려하십시오. 대칭 차이로 연결된 서브 그래프를 유도하는 경우 두 개의 정점 (두 개의 독립 세트)이 연결됩니다. 이제 한쪽에 두 개의 꼭짓점이있는 이분 그래프를 사용하면

은 다른 쪽의 모든 꼭짓점에 연결되고

는 하나만 연결됩니다. 독립 세트

및

고려하십시오 .

v_{1}

$v_1$

v_{2}

$v_2$

{v_{1}}

$\{v_1\}$

{v_{2}}

$\{v_2\}$

— Heng Guo

주어진 폴리 토프 정점의 인접 정점을 균일하게 샘플링하는 것은 폴리 토프의 임의의 정점을 균일하게 샘플링하는 것과 같은 문제입니다. 꼭짓점에 가깝게 원뿔을 잘라냅니다. 하나는 새로운 폴리 토프를 가지며,이 새로운 폴리 토프의 정점을 샘플링 할 수 있다면, 원래의 폴리 토프의 인접한 정점을 샘플링 할 수 있습니다. 나는 이것을 대략 BPP에 있다고 생각하지만, 이것을 증명하는 종이를 찾을 수는 없습니다.

— 피터 쇼어

편집 2 : 당연하게도, 올바른 폴리 토프로 시작하면 $NP$ 경도에 대한 두 줄의 증거가 있습니다.

먼저, 다면체의 모든 정점 생성의 4 페이지 하단에있는 그래프의 순환 폴리 토프를 기억하십시오 .

정점은 지시 된 단순주기와 양이 일치합니다. 따라서 JVV Proposition 5.1에서는 샘플링하거나 계산하기가 어렵습니다 . :-디

이 키워드를 사용 하여 Khachiyan 의 횡단 하이퍼 그래프 및 다면체 콘의 가족 정리 1로 샘플링 결과의 경도를 찾을 수있었습니다 .

편집 : 아래 인수를 작성했는데 올바르게 나타납니다. 그러나 훨씬 간단한 주장이 있습니다.

a) 볼록 다면체 (Fukuda et al.)의 모든 정점과 모든면을 나열하기위한 역 추적 알고리즘을 분석 하여 polytopes에서 다음 문제를 해결하는 것은 NP-hard입니다.

$Ax = b , x \geq 0$ $\mathbb{R}^n$ $S \subseteq n$

$v$ $P$ $S$

$y_{ik}$ $i \in S$ $k = 1, \ldots, d$ $0 \leq y_{ik} \leq x_i$ $P_{S,d}$ $d |supp(x) \cap S|$

$2^{d | supp(x) \cap S|}$ $supp$

$d$ $P_{S,d}$ $S$

이것에 대한 다양한 확장이있는 것으로 보입니다. 글쓰기가 완료되면 링크로 업데이트하겠습니다.

(이전의 주장은 편집 기록에 있습니다. 매우 길어서 질문에 대한 정답을 찾는 데 방해가되기 때문에 제거했습니다.)

— 로렌조 나짓
소스

H_{1}

$H_1$

H_{0}

$H_0$

l e a v e s

$leaves$

d

$d$

| H_{0} |

$|H_0|$

| H_{1} |

$|H_1|$

이것에 문제가 있어야합니다. 정점이 올가미이고 단순한주기 인 폴리 토프가있는 경우이 폴리 토프에 대해 원하는 선형 함수를 최대화하기 위해 선형 프로그래밍을 사용할 수 없습니까? 그리고 그것은 우리가 다항식 시간에 걸쳐있는 올가미를 찾게하지 않겠습니까?

— 피터 쇼어

@PeterShor 폴리 토프가 가장자리 변수의 합을 1로 설정하여 정의 된 초평면 안에 있기 때문에 이런 일이 발생하지 않는다고 생각합니다. 따라서 기능은 폴리 토프에서 일정합니다. 모서리 수를 나타내는 함수는 벡터의지지 크기이며,이 폴리 토프에서는 선형이 아닙니다.

— Lorenzo Najt

@PeterShor 나는 '가장자리 수'기능이 선형이 될 수 없다는 증거를 추가했습니다. 아래 그림을 참조하십시오.

— Lorenzo Najt