사후 대응 문제 변형

이것은 아마도 매우 간단하지만 표준 포스트 통신 문제를 고려하십시오.

감안 및 , 인덱스의 시퀀스를 찾아 되도록 . 물론 이것은 결정 불가능합니다.β 1 , … , β N i 1 , … , i K α i 1 ⋯ α i K = β i 1 ⋯ β i $\alpha_1, \ldots, \alpha_N$$\beta_1, \ldots, \beta_N$$i_1, \ldots, i_K$$\alpha_{i_1}\cdots \alpha_{i_K} = \beta_{i_1}\cdots \beta_{i_K}$

자, 이것을 '변형'이라고 부르지 만 실제로는 아닙니다. 본질적으로 '통신'을 버립니다. 어쨌든 다음 변형을 고려하십시오.

을 감안할 때 및 , 찾아 두 지수의 시퀀스 등이 입니다. 이 변형에 대해 무엇을 말할 수 있습니까? 이것이 사소한 일이라면 사과드립니다!β 1 , … , β $\alpha_1, \ldots, \alpha_N$$\beta_1, \ldots, \beta_N$ α i 1 ⋯ α i K = β j 1 ⋯ β j $i_1, \ldots, i_K, j_1, \ldots, j_{K}$$\alpha_{i_1}\cdots \alpha_{i_K} = \beta_{j_1}\cdots \beta_{j_{K}}$

이 새로운 버전 ( 은 결정 가능합니다.$K = K'$

언어 이 CFL 임을 보여 드리겠습니다 . 그리고 결정 성은 CFL의 공허함의 결정 가능성에 따른다.$L := \bigcup_{k \geq 1} (A^k \ \cap \ B^k)$

을 수용 할 수있는 PDA를 설계 할 것 입니다. 입력 ,이 PDA는 두 가지 인수 분해 ( 하나는 단어를 사용하고 다른 하나는 단어를 사용) 를 구성하려고 시도합니다 . 스택에서 카운터를 사용하여이 두 인수 분해의 길이가 동일하도록합니다. 개념적으로 난을 참조한다 의 -factorization 지금까지의 꼭대기에 앉아으로 와 바닥에 앉아 같은 -factorization . 그런 다음 스택은 상단에 일치하는 단어 수의 차이의 절대 값에서 아래쪽에있는 단어 수를 뺀 경우 카운터 를 포함합니다.x x A B A x x B x n n n A $L$$x$$x$$A$$B$$A$$x$$x$$B$$x$$n$$n$ . 적절한 부호가 대응하는 것을 기록하기 위해 PDA의 또 다른 상태가 필요하다 ( 요인 화가 요인 화 보다 길거나 그 반대인지를 알려준다).$n$$A$$B$

우리의 문자 검사로 , 우리는 nondeterministically 단어 추측 의 및 단어 의 이 편지가 시작되는합니다. 일단 추측하면, 나머지 와 를 와 일치시키기 위해 노력합니다 . 어떤 시점에서 경기가 실패하면, 우리는이 결정적이지 않은 선택을 멈 춥니 다. 따라서 PDA 상태에서도 일치하는 와 의 접미사 를 유지합니다.t A u B t u x t $x$$t$$A$$u$$B$$t$$u$$x$$t$$u$

추가 문자를 스캔 할 때 의 끝이나 의 끝 (또는 둘 다)에 도달 할 때까지 계속 일치 합니다. 단어의 끝에 도달하면 스택을 적절하게 업데이트 한 다음 위쪽 또는 아래쪽 (또는 둘 다)에 일치하는 새 단어를 추측합니다.$t$$u$

일치하는 나머지 접미사가 위와 아래에 모두 비어 있고 스택에 카운터가없는 경우 수락합니다.

우리는이 PDA를 효과적으로 구성 할 수 있기 때문에 어떤 것을 받아 들일지 여부를 효과적으로 결정할 수 있습니다 (예를 들어, 문법 로 효과적으로 변환 한 다음 일반적인 방법을 사용하여 G가 무언가를 생성하는지 확인).$G$

편집 : 최악의 경우 가 얼마나 수 있는지에 대한 상한으로 바꿀 수도 있습니다. 나는 그것이 대략 와 같은 것의 상한을 제공해야한다고 생각합니다 . 여기서 은 와 의 단어 길이의 합입니다 .2 O ( l 2 ) l A $k$$2^{O(l^2)}$$l$$A$$B$

편집 : 이제 와 가 유한 세트이어야 한다는 요구 사항을 완화 할 수 있으며 와 가 규칙적 이어야 할 수도 있습니다 (아마도 무한합니다). 이 경우 접미사가 "상단"및 "하단"에서 일치하도록 유지하는 대신 가능한 일치하는 단어의 접두사를 처리 한 후 현재있는 각 DFA의 상태를 유지합니다. "상단"또는 "하단"에서 최종 상태에 도달하면 새로운 추측 단어에 대해 초기 상태로 돌아가도록 결정적으로 선택할 수 있습니다. B A $A$$B$$A$$B$

편집 : 이전 버전을 해결하여 형식이 같은지 여부를 결정해야합니다. . 새 버전은 입니다. K = K $\alpha_{i_1} \cdots \alpha_{i_K} = \beta_{j_1} \cdots \beta_{j_{K'}}$$K = K'$

형식의 모든 문자열에 의해 생성 된 언어 는 규칙적입니다. 형식의 모든 문자열에 의해 생성 된 언어 는 규칙적입니다. 가 비어 있는지 묻습니다 . 이후 보통이며, 이것은 (시간 지수에서 대부분의 사실) decidable이다.α i 1 ⋯ α i K B β j 1 ⋯ β j K ' A ∩ B A , $A$$\alpha_{i_1} \cdots \alpha_{i_K}$$B$$\beta_{j_1} \cdots \beta_{j_{K'}}$$A \cap B$$A,B$