O (1) 푸시 / 팝 시간으로 3 개의 스택을 하나의 배열로 구현할 수 있습니까?

고정 된 크기의 배열 하나를 사용하여 두 개의 스택을 효율적으로 구현할 수 있습니다. 스택 # 1은 왼쪽 끝에서 시작하여 오른쪽으로 커지고 스택 # 2는 오른쪽 끝에서 시작하여 왼쪽으로 커집니다. 세 개의 스택에 대해서도 동일합니까?

보다 구체적으로, 다음과 같은 조건에서 3 개의 스택을 구현할 수 있습니다.

1. N 개의 개체를 담을 수있는 고정 크기 배열이 있습니다.
2. 세 스택 크기의 합이 <N 인 한 push ()는 실패하지 않아야합니다.
3. push () 및 pop () 작업 모두 O (1) 시간이 걸립니다.
4. 배열 외에도 O (1) 추가 공간 만 사용할 수 있습니다.

이러한 요구 사항을 충족 하지 않는 솔루션의 예는 다음과 같습니다 .

• 어레이를 3 개의 고정 부품으로 분할하고 스택에 각 부품을 사용합니다 (2를 위반).
• 위와 비슷하지만 스택 사이에 움직일 수있는 경계가 있습니다 (3을 위반).
• 간단한 연결 목록 기반 구현 (4 위반)

푸시 / 팝이 O (1) 할부 상환 시간을 걸리는 알고리즘 또는 추가 메모리는 O (N)보다 작습니다 (예 : O (log N)). 또는 예를 들어 푸시 / 팝당 5 개 미만의 어레이 요소에 액세스하는 것이 불가능하다는 것을 보여주는 불가능한 증거입니다.

Fredman과 Goldsmith는 "Three Stacks"(저널 알고리즘, 1994)에서 $\Theta(n^\varepsilon)$낭비되는 공간을 얻을 수 있습니다. 또한 최소 16 개의 쿼터 오실 론 요타 바이트 크기의 어레이에 필요한 최소값입니다. 간단한 알고리즘 낭비를 설명했습니다$\Theta(\sqrt{n})$ 내 StackOverflow 의 공간 단어 가이 질문에 대답합니다 . @ dmitri-urbanowicz가 주석에서 언급했듯이 이것은 기본적으로 배열을 다음과 같이 취급합니다.$\sqrt{n}$ 크기의 블록 $\sqrt{n}$여기서 각 블록은 정확히 하나의 스택에 사용되고 해당 스택의 다음 블록에 대한 단일 포인터를 포함합니다.

N을 기본 배열의 길이라고하자. 스택을 큰 청크의 연결된 목록으로 상상할 수 있으므로 전체 청크 수가 O (log2 (N))를 넘지 않아야합니다. N / 2의 인덱스에서 첫 번째 두 스택 사이에 세 번째 스택을 놓습니다. 따라서 3 개의 점유 공간과 2 개의 무료 공간이 있습니다. 스택이 다음 요소를 수용 할 수 없으면 하나의 빈 영역이 소진되었음을 의미합니다. 다른 쪽도 소진되면 전체 메모리가 소진됩니다. 그렇지 않으면 크기가 N / 2 이하인 다른 빈 영역이 있습니다. 빈 공간으로 넘친 스택을 계속하십시오. 전체 구성이 스택의 초기 레이아웃과 유사합니다. 사용 가능한 메모리는 이제 초기의 절반을 넘지 않기 때문에 이러한 연결 작업의 log2 (N) 이상은 없습니다. 각 연결 작업에는 스택의 이전 상태를 저장하기 위해 고정 된 양의 메모리가 필요합니다. 그래서,