유형 이론 / 프로그래밍 언어 이론에서 대수 기하학의 응용

최근에, 나는 대수 기하학에 관심을 갖게되고 그것에 대해 읽기 시작했습니다. 나는 여전히이 분야에 대해 거의 알지 못하지만 그것이 나의 주요 분야, 유형 이론 및 프로그래밍 언어와 관련이 있는지 알고 싶습니다.

대수 토폴로지는 유형 이론 (homotopy type 이론 등)에 많은 응용 프로그램이 있지만 유형 이론 / PL 이론과 AG는 범주 이론의 좋은 동기 부 여자 외에 대수 기하학에 대해서는 어떻습니까?

내 지식 (완전히 불완전한)에는 비교적 복잡한 두 지식을 동화해야하기 때문에 이에 대한 연구가 거의 없었습니다. 그러나, 존재하지 않는 것은 거의 없습니다. Thierry Coquand와 그의 공동 연구자들은 정류 대수와 구성 논리 사이의 연관성에 대해 상당히 많은 논문을 작성했습니다.

• Thierry Coquand, Henri Lombardi. 추상 대수에 대한 논리적 접근 .

  이 논문은 대학원생으로서 저에게 큰 인상을주었습니다. 증거 이론과 모델 이론의 아이디어를 사용하여 사소하고 적절한 수학을 수행하는 자신감 있고 자유로운 방법은 제가 크게 감탄하고 있으며 여전히 열망하고 있습니다.

• Henri Lombardi와 Claude Quitté는 (자유롭게 사용 가능한) 교과서 인 Commutative algebra : Constructive methods를 가지고 있습니다.

  제목에서 알 수 있듯이, 이것은 대수 기하학이 아닌 정류 대수이지만, 대수 기하학은 대수 기하학에 대한 많은 인프라를 제공하기 때문에 여전히 관심의 대상입니다.

이 분야에는 매우 흥미로운 박사 논문이 많이 있습니다.

• Andres Mörtberg의 PhD 논문 형식화 이론의 개선 및 건설 대수 공식화

  건설적인 증거가 있으면 알고리즘이 있습니다. 이 논문은 이러한 알고리즘을 효율적으로 만드는 것을 살펴 봅니다.

• Bassel Mannaa의 박사 학위 논문, 건설 대수학 및 유형 이론의 뭉치 의미론

  이 논문에서 그는 마르코프의 원리의 독립성 과 함께 뉴턴-푸 이즈 정리의 정확성을 건설적 으로 증명 한다. 뭉치-시맨틱 메소드가 지오메트리와 로직에 어떻게 적용되는지 보여주는 좋은 예를 제공합니다.

• Ingo Blechschmidt의 PhD 논문, 대수 기하학에서 내부 언어를 사용하여,

  이 논문은 체계와 관련된 작은 Zariski 토포스의 내부 언어에서 대수 기하학에 대한 많은 일반적인 증거를 다시 작성하여 일종의 "합성 대수 기하학"을 만들어내는 것을 살펴 봅니다. (그는 또한 큰 Zariski topos를 사용하여 "합성 체계 이론"을 수행합니다. 예상 한대로 topoi는 일반적으로 부울이 아니기 때문에 증명은 직관적 인 스타일로 수행해야합니다.

다음 참조를 지적 할 가치가 있습니다.

• 손더스 맥 레인, 이케 모에 르 디크 지오메트리 및 로직의 시브 지오메트리 및 로직의 시브 : 지형 이론에 대한 첫 번째 소개 .

  이 작업에 사용 된 많은 기술은 위치 이론, 논리 및 형상 간의 연결을 통해 제공됩니다. 이것은 표준 참고 자료이지만, 대부분 Steve Vickers의 논문을 통해 배웠습니다.

이것은 정확히 당신이 찾고있는 것이 아닐 수도 있지만 프로그래밍 언어에서 대수 기하학의 한 응용은 선형 루프의 분석입니다.

선형 루프는 다음과 같은 매우 간단한 프로그램입니다.

$x=s$

동안 $x\notin F$

$x\leftarrow Ax$

어디 $s,x\in \mathbb Q^d$ 과 $A\in \mathbb Q^{d\times d}$행렬입니다. 세트$F$ "종료 조건"은 간단히 기술 된 세트 (예를 들어, 폴리 토프 또는 반대 수 세트) 일 수있는 종료 조건이다.

이 루프의 분석은 종종 행렬 의 궤도 를 분석하는 데 달려 있습니다.$A$즉 $\{A^ns: n\in \mathbb N\}$. 이는 차례로 고유 값의 검정력 분석을 포함합니다.$A$, 그의 행동은 대수 기하학의 개념과 밀접한 관련이 있습니다 (예 : Masser의 기본 정리).

궤도 문제의 복잡성 에 관한 논문을 좋은 출발점으로 볼 수 있습니다.