K가 Kolmogorov 복합성 인 K (xx) <K (x)와 같은 x가 존재한다.

가 문자열 의 Kolmogorov 복잡성을 나타내도록 하자 . 와 같은 문자열이 ? (여기서 는 와 자체를 연결 한 것입니다). 비슷하지만 다른 질문이 여기 에 요청 되었지만 해당 질문에 대한 답변에 제시된 반례는이 질문에 작동하지 않습니다. $K(x)$ $x$ $K(xx)<K(x)$ $xx$ $x$

cc.complexity-theory kolmogorov-complexity

— 선 야콥 센
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답변:

나는 Kolmogorov 복잡성에 대한 전문가는 아니지만 다음과 같이 모든 복잡성 함수 K에 대해 이러한 x 를 구성 할 수 있다고 생각 합니다. 1, 11, 1111, 11111111,…, 1 ^{2 ⁿ} ,…은 자연수 n 의 인코딩 이므로 K (1 ^{2 ⁿ} )는 o (log n ) 일 수 없습니다 . 그러나, n = 2 ^m 일 때 , 분명히 K (1 ^{2 ⁿ} ) = K ( ^{12 ^{2 ^m}} ) = O (log m ) = O (log log n ). 따라서 시퀀스 K (1), K (11), K (1111), K (11111111),…, K (1 ^{2 ⁿ} ),… 단조롭게 증가 할 수 없으므로 문자열이 있음을 의미합니다.X 형태 1 ^{2 ^N} 예컨대 K (즉 XX ) <K ( X ).

— 이토 츠요시
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@Tsuyoshi, 비압축성 문자열이 있는가

되도록

x

$x$

K (x x) < K (x)

$K(xx)\lt K(x)$

— Mohammad Al-Turkistany

생각하는

및 K (1 ^ 2 ^ {N}) = Ω (로그 n)이 서로 모순. 그가 의미하는 바는 다음과 같습니다.

이면

. 그렇지 않으면 증거가 좋아 보입니다.

K (1^{2^{2^{m}}}) = O (\log m)

$K(1^{2^{2^m}})=O(\log m)$

f (n) = o (\log n)

$f(n)=o(\log n)$

K (1^{2^{n}}) \neq O (f (n))

$K(1^{2^n})\neq O(f(n))$

— Sune Jakobsen

이것은 작동하는 것 같습니다. 실제로, 나는 그것이 당신에게 그러한 문자열의 무한한 순서를 제공한다고 생각합니다. 그러나, 나는 무언가를 오해하고 있거나 wikipedia ( en.wikipedia.org/wiki/Chain_rule_for_Kolmogorov_complexity )에 나타나는 Kolmogorov Complexity의 연쇄 규칙에 대한 진술이 잘못되었습니다. 처음에는 Wikipedia의 정의가 여기에 적용되지 않을 수 있다고 생각했습니다 .X 끝과 Y가 어디에서 시작하는지 알 수 있어야하지만 여기에는 필요하지 않지만 Y = X 일 때 설명에 추가 할 수 있습니다 "중간에 쪼개"라고 말함으로써 O (1).

— Abel Molina가

@Sune : Ω (⋅) 표기법에는 약간 다른 정의가 있습니다. 내 대답의“K (1 ^ 2 ^ n) = Ω (log n)”은“limsup K (1 ^ 2 ^ n) / log n> 0”을 의미하며“K (1 ^ 2 ^ 2)와 모순되지 않습니다 ^ m) = O (log m).”이 점을 명확히하기 위해 답을 편집했습니다. 우리

— Ito Tsuyoshi

@ turkistany와 all : 상수에 대해 K (xx)> K (x) -c가 항상 사실이라는 것을 명심하십시오.이 점을 지적해야한다고 생각했습니다. 이것은 또한 우리가이 질문을 연구하고 싶다면 압축 불가능한 것에 대한 매우 정확한 정의가 필요하다는 것을 의미합니다. 나는 대답이 다시 그렇다고 생각하지만 증거는 없습니다.

— domotorp

예. 실제로 Kolomogorov의 복잡성은 모델에 따라 다릅니다. 튜링 머신, 자바 프로그램, C ++ 프로그램 등 ... 한정된 입력 세트에서 이런 일이 일어날 수있는 특유의 모델이 있다면 아무런 문제가 없습니다.

더 좋은 질문은이 행동의 어느 정도를 멀리하고 모델을 보편적으로 유지할 수 있는지입니다.

— 차드 브루베이커
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더 좋은 질문은 다음과 같습니다. 그러한 모델이 모든 모델에 존재합니까? "모델"이 공식적으로 무엇인지는 모르지만 Tsuyoshis의 대답은 모든 합리적인 프로그래밍 언어에서 작동하는 것 같습니다.

— Sune Jakobsen

0

$0$

x x

$xx$

x

$x$

@ 츠요시 :

나는 당신의 증거를 잘 이해하지 못했습니다.

$K(s)$ $s$

$TM_{ss}$ $ss = 1111...1 = 1^{2^{n+1}}$ $TM_{s}$ that "prints" the string $s = 1^{2^n}$ ?

Can your proof be applied to Kolmogorov complexity on TMs ?

OK! I GOT IT ... when $n+1 = 2^{m}$ the $TM_{ss}$ can be "powered" with a new "inner loop" (we add some states but we can remove many states that in $TM_{s}$ are needed for "counting" $n$ ) ... Thanks!

(sorry, but I don't know how to post this as comment)

— Marzio De Biasi
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— Tsuyoshi Ito