어떤 Integer Linear 프로그램이 쉬운가요?

문제를 해결하려고 노력하면서 결국 그 부분을 다음 정수 선형 프로그램으로 표현했습니다. 여기서 는 모두 다음과 같이 주어진 양의 정수입니다. 입력의 일부. 변수 의 지정된 서브 세트는 0으로 설정되며 나머지는 양의 정수 값을 취할 수 있습니다. $\ell,m,n_{1},n_{2},\ldots,n_{\ell},c_{1},c_{2},\ldots,c_{m},w$ $x_{ij}$

최소화

$\sum_{j=1}^{m}c_{j}\sum_{i=1}^{\ell}x_{ij}$

대상 :

$\sum_{j=1}^{m}x_{ij}=n_{i}\,\,\forall i$

$\sum_{i=1}^{\ell}x_{ij}\ge w\,\,\forall j$

이 정수 프로그램을 다항식 시간으로 해결할 수 있는지 알고 싶습니다. 내 원래 문제가 해결되면 해결되고 그렇지 않은 경우 다른 방법으로 시도해야합니다. 그래서 내 질문은 :

다항식 시간에 특정 정수 선형 프로그램을 해결할 수 있는지 어떻게 알 수 있습니까? 어떤 정수 선형 프로그램이 쉬운 것으로 알려져 있습니까? 특히 위 프로그램을 다항식 시간으로 해결할 수 있습니까? 이것에 대한 참고 자료를 알려 주시겠습니까?

— gphilip
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답변:

운송 문제 (또는 최소 비용 흐름 문제)의 특수한 경우이므로 다항식 시간으로 해결할 수 있습니다. 계수 행렬은 이분 그래프의 발생 행렬이기 때문에 완전히 단일 모듈입니다.

다음 Wikipedia 기사가 유용 할 수 있습니다.

— 오카모토 요시오
소스

@Yoshio : 감사합니다. 특정 문제 인스턴스에 답변합니다 (한 번 확인한 경우). 다항식 솔루션을 보장하는 총 단일 모듈 이외의 조건을 알고 있습니까?

— gphilip

@gphilip : 나는이 질문들을 "다면체의 통합 성"이라는 용어로 요약하고이 주제에 관한 문헌은 엄청납니다. Gerard Cornuejols (2001 년 출판)의 "Combinatorial Optimization : Packing and Covering"책은이 라인을 따라 몇 가지 결과를 설명합니다.

— 오카모토 요시오

A x \leq b

$Ax\le b$

A

$A$

- A

$-A$

A

$A$

[A ∣ - A]

$[A \mid -A]$

다음과 같이 바로 가기 규칙을 변경하겠습니다. (1) 행의 복제는 총 단일성 (unimodularity)을 유지합니다. (2) 행 부호의 반전은 전체 단일 모듈성을 유지합니다. 그들은 일을해야합니다.

— 오카모토 요시오

일반적으로 말하기 어렵습니다. 그러나 충분한 조건은 제약 조건 행렬이 완전히 단일 모듈이며 오른쪽은 항상 정수입니다 (이 경우 오른쪽은 정수이지만 여전히 단일 모듈 수를 확인해야 함)

http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_program#Integer_unknowns를 살펴보십시오 .

— 비니 시우스 도스 산토스
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나는 당신의 매트릭스에 대해 생각하고 있었고 그것은 완전히 단일 모듈처럼 보입니다.

— Vinicius dos Santos 0

@Vinicius : 왜 매트릭스가 완전히 단일 모듈로 보이는지 말해 주실 수 있습니까? Yoshio의 의견에도 불구하고 이것을 알아낼 수 없었습니다 (내 답변을 참조하십시오).

— gphilip

@gphilip : "일반적으로 완전한 단일 모듈 형 매트릭스"섹션의 en.wikipedia.org/wiki/Unimodular_matrix 에서 첫 번째 항목은 매트릭스가 단일형 일 수있는 충분한 조건을 나열합니다. 요시오가 언급 한 지름길과 함께 이러한 조건은 문제가 다항식 시간에 해결 될 수 있음을 보여주기에 충분하다고 생각합니다.

— Vinicius dos Santos

@gphilip :이 선형 프로그램의 동기는 무엇입니까?

— Vinicius dos Santos

@Vinicius : 우리는 좋은 속성을 가진 다른 행렬을 얻기 위해 특정 방법으로 입력 행렬을 수정하는 용어로 표현 된 문제를 해결하려고합니다. 이 LP는 프로세스 중에 하나의 하위 문제로 인해 나왔습니다.

— gphilip

선형 프로그램으로 등식 만있는 정수 프로그램을 해결할 수 있습니다.

— 티....
소스

이것은 그 자체로 중요해 보였습니다.

— T ....

나는 정수 프로그램이라고 부르지 않을 것이다. 정수에 대한 선형 방정식 시스템으로 Hermite 정규형을 계산하여 효율적으로 해결할 수 있습니다.

— Sasho Nikolov

@SashoNikolov는 퇴보 된 사건이지만 확실히 유효한 사건입니다.

— T ....

왜 부정적인 투표?

— T ....