두 행렬에 대한 질문 : 민감도 추측의 증거에있는하다 마드 대 "마술의 것"

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최근과 엄청나게 매끄러운 감도 추측의 증거 매트릭스 명시 * 구조에 의존 : 재귀 정의로서 다음 그리고 , $A_n\in\{-1,0,1\}^{2^n\times 2^n}$

A_{1} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

$A_1 = \begin{pmatrix} 0&1\\1&0\end{pmatrix}$

n \geq 2

$n\geq 2$

A_{n} = (\begin{matrix} A_{n - 1} & I_{n - 1} \\ I_{n - 1} & - A_{n - 1} \end{matrix})

$A_{n} = \begin{pmatrix} A_{n-1}&I_{n-1}\\I_{n-1}&-A_{n-1}\end{pmatrix}$ 특히,모든

대해

A_{n}^{2} = n I_{n}

$A_n^2 = n I_n$ 임을 쉽게 알 수 있습니다.

n \geq 1

$n\geq 1$

지금, 어쩌면 내가 너무 많은이에 읽고있다,하지만이 모습은 적어도 구문 행렬의 또 다른 유명한 가족에 관한, 또한 인 마드 행렬, 즉 $H_n^2 \propto I_n$ 와 '유사한'스펙트럼을 가지고 :

H_{1} = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix})

$H_1 = \begin{pmatrix} 1&1\\1&-1\end{pmatrix}$ 과, 대

n \geq 2

$n\geq 2$ ,

H_{n} = (\begin{matrix} H_{n - 1} & H_{n - 1} \\ H_{n - 1} & - H_{n - 1} \end{matrix})

$H_{n} = \begin{pmatrix} H_{n-1}&H_{n-1}\\H_{n-1}&-H_{n-1}\end{pmatrix}$

"모호하게 비슷해 보인다"는 것을 제외하고는 둘 사이에 공식적인 연결이있을 수 있습니까?

예를 들어, 하이퍼 큐브의 서명 인접 행렬로 간주 좋은 해석 (엣지의 투표 의 패리티 인 접두사 ). 대한 아날로그가 있습니까? (이것은 명백할까요?) $A_n$ $\{0,1\}^n$ $(x,b,x')\in\{0,1\}^n$ $x$ $H_n$

$^*$ $\pm1$

boolean-functions matrices boolean-matrix

— 클레멘트 C.
소스

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주석에 비해 너무 긴 관측치 (또한 Jason Gaitonde의 관측에 대한 의견이 너무 깁니다) :

$B_0 \in \{(0), (\pm 1)\}$ $1 \times 1$

B_{n} = (\begin{array}{cc} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{array})

$B_n = \left(\begin{array}{cc} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{array}\right)$

$b_{ij}$ $\{0, \pm 1, \pm x\}$ $2^{n-1} \times 2^{n-1}$ $x$ $B_{n-1}$ $A_0 = (0)$ $\begin{bmatrix} x & 1 \\ 1 & -x \end{bmatrix}$ $H_0 = (1)$ $\begin{bmatrix} x & x \\ x & -x \end{bmatrix}$

$B_n^2$ $I_{2^{n}}$ $b_{11} + b_{22} = 0$ $b_{12} = b_{21}=0$ $b_{11} = -b_{22}$ (이것은 Jason의 답변에서 "위대한"조건 중 하나입니다). 이것은 또한 두 행렬의 시퀀스가 왜 트레이스가 없는지에 대한 일반적인 설명으로 볼 수 있습니다.

$B_n$

$B_0$ $5^4$ $B_n^2$

— 조슈아 그로 호프
소스

그리고하지 않을 경우, 아마도 거기 숨어 몇 가지 흥미로운 것들 ... 거기에 소리 꽤 흥미 :)

— 클레멘트 C.

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다음은 주석에 맞지 않는 몇 가지 관찰 결과입니다.

$H_n$ $\{0,1\}^n$ $(x,y)$ $1$ $x\odot y=(x_1y_1,\ldots,x_n y_n)$ $-1$

$M=\begin{pmatrix} A & B\\ B^T & C\end{pmatrix}$ $A_n$ $H_n$ $B^T$ $C$ $\det(M)=\det(AC-BB^T)$ $M$

det ((λ I - A) (λ I - C) - B B^{T}) = det (λ^{2} I - λ (A + C) + A C - B B^{T}) .

$\det((\lambda I-A)(\lambda I-C)-BB^T)=\det(\lambda^2I-\lambda (A+C)+AC-BB^T).$ 이것이 고유 값에 대한 재귀 공식 을 좋게 만들려면 선형 항 을 죽이려면 기본적으로 가 필요합니다 . 추가 와 가 대칭이고 출퇴근 인 경우 얻 습니다. 여기에서 다음을 사용하여 고유 값을 쉽게 읽을 수 있습니다. 사실 대칭형 통근 행렬은 공통 고유 점을 인정합니다. 이것은 명백 할 수도 있지만, 이것의 모든 것은 고유 값에 대해 좋은 재귀 공식을 얻는 한 기본적으로 오른쪽 아래 블록을 로 설정하는 것이 필수적이라는 것입니다

C = - A

$C=-A$

λ

$\lambda$

A

$A$

B

$B$

det (λ I - M) = det (λ^{2} I - (A^{2} + B^{2})),

$\det(\lambda I-M)=\det(\lambda^2 I-(A^2+B^2)),$

- A

$-A$ 왼쪽 하단 및 오른쪽 상단 블록이 대칭 적이며 출퇴근하기를 희망합니다 . 이는 ( ) 및 행렬 ( )의 경우입니다.

A

$A$

A_{n}

$A_n$

B = I

$B=I$

H_{n}

$H_n$

B = H_{n - 1} = A

$B=H_{n-1}=A$

2) 임의 부호 문제 : 논문에 제시된 인접 행렬의 부호는 을 최대화한다는 점에서 최적이며 , 이는 Cauchy 인터 레이싱을 통해 하한에 필요하며 기본 수단에서 볼 수 있습니다. 차원 하이퍼 큐브 의 인접 행렬의 임의 부호 의 경우 , 즉시 여기서 . 일부 경우 서명용 하나를 갖는다 다음을 $\lambda_{2^{n-1}}$ $M_n$ $n$

Tr (M_{n}) = \sum_{i = 1}^{2^{n}} λ_{i} (M_{n}) = 0, Tr (M_{n}^{2}) = \sum_{i = 1}^{2^{n}} λ_{i} (M_{n})^{2} = ‖ M_{n} ‖_{F}^{2} = n 2^{n},

$\text{Tr}(M_n)=\sum_{i=1}^{2^n} \lambda_i(M_n)=0,\quad \text{Tr}(M_n^2)=\sum_{i=1}^{2^n} \lambda_i(M_n)^2=\|M_n\|_F^2=n2^n,$

λ_{1} (M_{n}) \geq λ_{2} (M_{n}) \geq \dots \geq λ_{2^{n}} (M_{n})

$\lambda_1(M_n)\geq \lambda_2(M_n)\geq\ldots\geq \lambda_{2^n}(M_n)$

M_{n}

$M_n$

λ_{2^{n - 1}} (M_{n}) > \sqrt{n}

$\lambda_{2^{n-1}}(M_n)>\sqrt{n}$

\sum_{i = 1}^{2^{n - 1}} λ_{i} (M_{n}) > \sqrt{n} 2^{n - 1}, \sum_{i = 1}^{2^{n - 1}} λ_{i} (M_{n})^{2} > n 2^{n - 1} .

$\sum_{i=1}^{2^{n-1}} \lambda_i(M_n)>\sqrt{n}2^{n-1},\quad \sum_{i=1}^{2^{n-1}} \lambda_i(M_n)^2>n2^{n-1}.$ 그러면 음의 고유 값이 (절대 값) 이상으로 엄격하게 합쳐 져야하고, 제곱의 합은 엄격히 작아야합니다. 보다 . 합계를 일정하게 유지하면서 제곱합을 최소화하면 모두 같을 때 발생하지만이 경우에는 제곱합이 너무 커집니다. 따라서 어떤 서명이든, 초등 식을 통해 알 수 있듯이, 는 논문에서 마법의 서명을 알지 않고도 값이

\sqrt{n} 2^{n - 1}

$\sqrt{n}2^{n-1}$

n 2^{n - 1}

$n2^{n-1}$

λ_{2^{n - 1}} (M_{n}) \leq \sqrt{n}

$\lambda_{2^{n-1}}(M_n)\leq \sqrt{n}$

\sqrt{n}, \dots, \sqrt{n}, - \sqrt{n}, \dots, - \sqrt{n}

$\sqrt{n},\ldots,\sqrt{n},-\sqrt{n},\ldots,-\sqrt{n}$ . 실제로 그러한 서명을 달성한다는 것은 놀라운 일입니다. 정규 인접 행렬의 고유 값은 . 여기서 번째 고유 값은 다중성 갖 습니다. 전체 - 서명 극대화 이 서명 극대화하면서 .

- n, - n + 2, \dots, n - 2, n

$-n, -n+2,\ldots,n-2,n$

i

$i$

(\binom{n}{i})

${n\choose i }$

+ 1

$+1$

λ_{1}

$\lambda_1$

λ_{2^{n - 1}}

$\lambda_{2^{n-1}}$

임의 서명 작업에 관해서는, 고유 값에 대한 대부분의 비 점근 경계가 스펙트럼 규범에 초점을 맞추고 있다고 생각하기 때문에 말하기가 더 어렵습니다. 하나 예상하는 임의의 영입은 noncommutative Khintchine 불평등 및 / 또는 같은 최근의 엄격한 경계를 사용하여, 참으로 극단적 인 보통의 고유 값을 부드럽게하고, 위해 여기를 , 균일하게 무작위 서명이 . 중간 고유 값이 예상되는 것과 같은 다항식 순서에 있다고 상상하기는 어렵습니다 (다른 매트릭스 앙상블에 대한 반원 법칙과 같은 점근 적 결과는 비슷하게 제안합니다). $\mathbb{E}[\|M_n\|_2]=\Theta(\sqrt{n})$

— JG
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