여러 그래프의 게임

일부 노드에 칩이 있는 직접 가중치 그래프 $G$ 에서 다음 게임을 고려하십시오 .

$G$ 모든 노드는 A 또는 B로 표시됩니다.

Alice와 Bob 두 선수가 있습니다. Alice (Bob)의 목표는 칩을 A (B)로 표시된 노드로 이동시키는 것입니다.

처음에 Alice와 Bob은 각각 $m_A$ 와 $m_B$ 달러를가집니다.

플레이어가지는 위치에 있다면 (즉, 칩의 현재 위치가 반대 문자로 표시됨) 칩을 이웃 노드로 옮길 수 있습니다. 이러한 이동에는 몇 달러가 필요합니다 (해당 모서리의 무게).

플레이어는지는 위치에 있고 그것을 고칠 돈이 없으면 잃습니다.

이제 모든 지향 가중치 그래프 $G$ (모든 가중치는 양의 정수임), 칩의 초기 위치 및 단항 표현으로 주어진 Alice와 Bob의 대문자 로 구성된 언어 GAME을 고려하십시오.

Alice가이 게임에서 승리 전략을 갖도록합니다.

언어 GAME는 P에 속해 있습니다. 실제로 게임의 현재 위치는 칩의 위치와 Alice와 Bob의 현재 수도에 의해 정의되므로 동적 프로그래밍이 작동합니다 (여기서는 초기 자본이 단항 표현으로 제공되는 것이 중요합니다).

이제이 게임의 다음 일반화를 고려하십시오. 각 그래프에 칩이있는 몇 개의 직접 가중 그래프 $G_1, \ldots G_n$ 을 고려하십시오 . 모든 그래프의 모든 노드는 A와 B로 표시됩니다. 이제 모든 칩이 B로 표시되면 Bob이 이기고, 적어도 하나의 칩이 A로 표시하면 Alice가 이깁니다.

Alice가 해당 게임에서 승리 할 수 ​​있도록 모든 그래프 $G_1, \ldots, G_n$ , 초기 위치 및 대문자 $m_A$ 및 $m_B$ (단항 표현) 로 구성된 MULTI-GAME 언어를 고려하십시오 . 여기서 자본은 모든 그래프에 공통적 인 것이 중요하므로 여러 독립적 인 GAME가 아닙니다.

질문 MULTI-GAMES 언어의 복잡성은 무엇입니까? ( P 에도 속 하거나이 문제가 어려운 이유가 있습니까?)

UPD1 Neal Young 은 Conway의 이론을 사용할 것을 제안했습니다. 그러나 나는이 이론을 공통 자본을 가진 여러 게임에 사용할 수 있는지 모른다.

UPD2 MULTI-GAME이 그리 간단하지 않음을 보여주는 예를 보여 드리고자합니다. 앨리스는 그녀의 자본 분할하자 $m_A$ 일부에 $n$ 용어 $m_A = a_1 + a_2 + \ldots a_n$ (그녀는 사용하려는 전 을 위해 달러를 내가 번째 그래프). Alice와 Bob이 각각 i 와 b i 달러를 가지고 있는 경우 i 번째 게임에서 Bob이 승리 하도록 b i 를 최소 수로 정의하십시오 . 만약 b 1 + … b$a_i$$i$$b_i$$i$$a_i$$b_i$$b_1 + \ldots b_n > m_B$ (일부 분할$m_A = a_1 + a_2 + \ldots a_n$ ) 그러면 Alice가 승리합니다. 그러나 그 반대는 사실이 아닙니다. 다음 그래프의 두 복사본을 고려하십시오 (처음에는 칩이 왼쪽에 있음).

하나의 그래프에서 Bob은 $m_A=0$ 이고 $m_B=2$ 이거나 $m_A=1$ 이고 $m_B=3$ 이면 승리합니다 . 그러나이 그래프의 복사본이 두 개인 게임의 경우 Bob은 $m_A=1$ 이고 $m_B=5$ 경우 손실됩니다 . 실제로 Bob은 두 칩을 B 로 표시된 노드로 전환 하기 위해 $4$ 또는 $5$ 달러 를 소비해야합니다 . 그러면 Alice는 하나 이상의 칩을 A로 표시된 노드로 옮길 수 있습니다. 그 후 Bob은 자신의 위치를 ​​구할 돈이 없습니다.$B$

UPD3 임의 그래프에 대한 질문은 어려운 것으로 보이 므로 특정 그래프를 고려하십시오. 일부 그래프 $G_i$ 의 노드를 $1, \ldots k$ 로 나타냅니다 . 내 제한은 다음과 같습니다. 모든 쌍 $i<j$ 대해 $i$ 에서 $j$ 까지의 가장자리 가 있으며 반대쪽 가장자리는 없습니다. 또한 모서리 비용에 대한 제한이 있습니다 : $i<j<k$ 경우 모서리 $j$ ~ $k$ 는 $i$ ~ $k$ 보다 크지 않습니다 .

Steven Stadnicki의 답변이 asker에 의해 받아 들여지지 않은 것으로 보이므로 업데이트를 제공하는 것이 여전히 도움이 될 것이라고 생각했습니다. 3SAT에서 MULTI-GAME로 축소되었습니다. 나는 Steven의 대답을주의 깊게 보지 않았고 그가 제공 한 링크를 따라 갔지만 다음 축소를 기반으로 MULTI-GAME이 실제로 PSPACE-complete 인 경우 놀라지 않을 것입니다. 그러나이 결과를 NP 경도 이상으로 확장하지 않아도됩니다.

3SAT 인스턴스는 $C_1, \dots, C_m$ 절로 구성되며 각 절은 $C_i = L_{i1} \vee L_{i2} \vee L_{i3}$ 여기서 각 $L_{ik}$ 는 변수 $x_1, \dots, x_n$ 또는 변수 중 하나의 부정.

이러한 3SAT 인스턴스가 주어지면 축소는 $n + 1$ 게임 으로 구성되는 MULTI-GAME 인스턴스를 생성합니다. 각 변수마다 하나씩, 다른 게임은 초과 자본 싱크로 사용됩니다. 먼저 각 게임에 대한 그래프의 구조를 정의한 다음 예제를보고 핵심 아이디어를 논의한 다음 축소를 확실하게하기 위해 가장자리에 할당 할 정확한 비용을 알아 봅니다.

우선, 가변 게임 그래프 $G_j$ 각 변수에 대한 $x_j$ :

1. 정점 라벨 작성 $x_j$ 는 A로 표시된 (즉, 앨리스이기는 정점). 칩의 $G_j$ 정점에 시작 $x_j$ .
2. $T$ 라는 정점과 $F$ 라는 정점을 각각 B로 표시된 정점을 만듭니다 (즉, 둘 다 Bob의 우승 위치 임). 행 방향 에지 생성 $x_j$ 모두 $T$ 및 $F$ 모두 비용, $1$ .

3. C i 의 각 리터럴 $L_{ik}$ 에 대해 L i k = x j 또는 L i k = ¬ x j 인 경우 , C i T A 및 C i F A 라는 레이블이 붙은 정점과 A로 표시된 정점과 C i T B 라는 정점이 생성 되고 C는 I F B 에지 B. 추가 표시 ( T , C 나 T 을 ) 및$C_i$$L_{ik} = x_j$$L_{ik} = \neg x_j$$C_iTA$$C_iFA$$C_iTB$$C_iFB$$(T, C_iTA)$$(F, C_iFA)$ 는 비용을$l_{ik}$ 설정합니다. (우리는 정의 할 것이다$l_{ik}$ 나중에.)

   모서리 $(C_iTA, C_iTB)$ 및 $(C_iTA, C_iTB)$ 합니다. 경우 $L_{ik} = x_j$ 다음 세트 $(C_iTA, C_iTB)$ 까지의 선정 $l_{ik} - 1$ 과 $(C_iTA, C_iTB)$ 까지의 선정$l_{ik}$ . 그렇지 설정$(C_iTA, C_iTB)$ '으로의 선정을$l_{ik}$ 와$(C_iTA, C_iTB)$ 에 대한 S'선정$l_{ik} - 1$ .

자본금 게임 :

1. B로 표시된 $C$ 로 정점을 만듭니다 .
2. 각 절 $C_i$ 대해 A 로 표시된 $C_iA$ 라는 정점과 B 로 표시된 $C_iB$ 로 표시된 정점을 만듭니다. 모서리 비용 c i (아래에서 다시 결정 ) 로 모서리 $(C, C_iA)$ 를 만듭니다. 그리고 에지 비용 c i를 갖는 에지 ( C i A , C i B ) .$c_i$$(C_iA, C_iB)$$c_i$

이것은 많은 것을 취해야하므로 예제가 좀 더 소화하기 쉽기를 바랍니다. 3SAT 인스턴스는 다음과 같습니다.

$C_1 = x_1 \vee x_2 \vee \neg x_3$

$C_2 = x_2 \vee x_3 \vee \neg x_4$

$C_3 = \neg x_1 \vee \neg x_3 \vee x_4$

축소는이 인스턴스를 4 개의 가변 게임 그래프와 1 개의 자본 싱크 그래프로 바꿉니다. 아래 다이어그램에서 빨간색 정점은 A로 표시되고 (즉, Alice의 우승 위치 임), 청록색 정점은 B로 표시됩니다 (Bob의 승리 위치 임).

$x_1$ 대한 그래프 :

$x_2$ 대한 그래프 :

$x_3$

$x_4$

자본금에 대한 그래프 :

아이디어는 다음과 같습니다.

$n$$n$

$c_i$$l_{ik}$$C_i$

$C_i$$C_i = L_{i1} \vee L_{i2} \vee L_{i3}$$k \in \{1, 2, 3\}$$L_{ik} = x_j$$\neg x_j$$C_i?A$$x_j$$C_iA$

$C_i?A$$C_iTA$$C_iFA$

$C_i$$C_i$$l_{i1} + l_{i2} + l_{i3} + c_i$$C_i$$1$$c_i$$l_{ik}$ 가치와 앨리스와 밥의 시작 자본은 상기 할인이 앨리스 나 밥이 이길 수있는 결정적인 요소가되도록하는 것입니다.

$b = m + 1$

$l_{ik} = 2b^{10} + ib^{2k}$$k \in \{1, 2, 3\}$

$c_i = 3b^{10} + b^8 - \sum_{k=1}^3 ib^{2k}$

$9b^{10} + b^8$

$9b^{10} + b^8 + n - 1.$

$m$

$C_i$$l_{i1} + l_{i2} + l_{i3} + c_i = 9b^{10} + b^8$$1$$n$

$C_i$$C_i$

Bob의 개회식이 모든 조항을 충족시키는 경우 Alice의 다른 우승 가능성을 배제하는 Alice의 옵션에 대한 제약을 주장 할 수 있습니다. Bob의 응답이 강제되고 Bob이 Alice의 이동에 응답하는 데 필요한 총 자본은 Alice의 이동 순서에 따라 변경되지 않으므로 Alice가 이동을 수행하는 순서는 관련이 없습니다.

• $\ge 5b^{10}$
• $\ge 9b^{10} + 3b^8 - 3b^7 > 9b^{10} + 2b^8$$\le 8b^{10} + 2b^8 + b^7$
• $\le 8b^{10} + 4b^7$

$b^{10}$$b^8$$9b^{10} + b^8$$C_iA$$b^{10}$$b^8$$\sum_{k=1}^3 ib^{2k}$$1$

• $l_{j3}$$C_j$$\le 3b^5$
• $l_{j3}$$l_{i3}$$l_{j3}$$j > i$$\ge (i+1)b^6$$l_{j3}$$j < i$$l_{(i - j)3}$$b^6$$b^2$$b^2$

$l_{i2}$$l_{i1}$$C_i$$l_{ik}$$1$

이전 답변에 대한 언급 : 그 대답의 의견에 정의 된 MULTI-GAME의 TABLE-GAME 변형에 대해 배낭 스타일 DP는 어느 플레이어가 승리 전략을 가지고 있는지 결정하기에 충분하다는 것을 뒷받침합니다. Bob의 최선의 전략은 가능한 최소한의 투자로 주어진 게임 테이블에서 항상지는 상태에 대응하는 것입니다 (이는 Bob이 다른 방법으로 가질 수있는 후속 조치를 차단 할 수 없음). 앨리스의 움직임은 중요하지 않습니다. 그런 다음 게임에서 Alice의 자본 분할을 선택하는 문제가되어 해당 게임에 대한 Bob의 최소 승리 응답의 합계가 예산을 초과합니다. 이는 다항식 시간 DP가있는 배낭 스타일 문제로 재구성 될 수 있습니다 단항의 비용 표현. (나의 재발은 실제로

$n$

UPD3 의 특별한 경우에 대해서는별로 생각하지 못했습니다 . 가변 가제트가 이러한 제약 조건에 적응할 수있는 것처럼 보이므로 NP 하드 인 것으로 생각되지만 더 이상 조사하지는 않을 것입니다.

업데이트 : 잘못되었을 가능성이 있지만 지금까지의 길을 탐험 한 기록으로 남았습니다. 의견을 참조하십시오.

업데이트 2 : 확실히 부정확합니다.

$G = (V, E)$$V = \{1, 2, 3\}$$E = \{(1, 2), (2, 3)\}$

$m_A = m_B = 2$$G_1 = G_2 = G_3 = G$

$M[3,2,2]$$2-u, u$$v, 2 - v$$M[2, 2 - u, 2 - v] = B$$W[3, u, v] = B$$u = 1$$u = 2$$M[2, 2 - u, 2] = A$$u = 0$$W[3, u, 2] = A$

$u$$v$

$m_A, m_B, G_1, \dots, G_n,$

사전 계산

$W[k, x, y] = \begin{cases}A & \text{if Alice wins GAME on $G_k$ with initial funds $x$ for Alice and $y$ for Bob,} \\ B & \text{otherwise}\end{cases}$

$x \le m_A$$y \le m_B$

$M[k, x, y]$$k$$x \le m_A$$y \le m_B$$M[k, x, y] = B$$A$

$M[1, x, y] = W[1, x, y]$

과

$M[k+1, x, y] = B \quad\text{if and only if}\quad \exists v \forall u, W[k+1, u, v] = B \:\:\text{and}\:\: M[k, x-u, y-v] = B.$

$M[n, m_A, m_B] = A$

$[n]$$n+1$$n\ldots 0$$i+1$$i$$0\leq i\lt n$$0$$0$$n$$[n]$$\geq n$$0$$0$

$G$$\alpha$$\beta$$\alpha$$[i]$$\beta$$\beta$$[j]$$[k]$$j\lt k$$\alpha$$\beta$$\beta$$[j]$$[k]$$[k]$$[i]$$\{i\mid\{j\mid k\}\}$