계산 이론에서 자연스러운 문제는 무엇입니까?

P 대 NP 문제에 관한 Stephen Cook의 논문에서, 그는 다음과 같이 기술한다.

타당성 이론 : 자연 문제는 다항식 시간 알고리즘을 사용하는 경우 실현 가능한 알고리즘을 갖습니다.

내 질문은, 그가 " 자연적인 문제"란 무엇을 의미 하는가? 자연스런 문제에 대해 이야기하는 것은 충분히 일반적인 것처럼 보이지만 아직 정의를 찾지 못했습니다. 뭔가 빠진 것 같습니다. 내가 생각하고있는 몇 가지 가능한 대답은 다음과 같습니다.

첫 번째 가능한 답변

쿡은 그의 논문에서 "자연"이 설명되어야한다고 말한다. "일반적으로 우리는 k , k > 1 속의 표면에 삽입 할 수있는 그래프 세트와 같이 매개 변수가 자연스럽지 않은 클래스를 고려하지 않습니다 ."[3] 우선, 이것은 " "자연적인 것"은 그 자체가 아니라 그러나 모든 문제가 자연 스럽거나 그렇지 않고 자연스럽지 않은 모든 문제를 완전히 설명하면 자연을 정의하기에 충분합니다. 그러나 규정 자 "일반적으로"는 이것이 자연스럽지 않은 문제에 대해 충분하고 필요한 설명이 아니라고 제안합니다.

"매개 변수가있는 클래스"는 고정 매개 변수 다루기 쉬움을 의미한다고 생각합니다. 이는 가능한 입력이 제한되어 타당성이 강제되는 문제를 의미합니다. 배낭의 무게를 고치면 다항식 알고리즘으로 배낭 문제 [4]를 해결할 수있다 (그러나 일반적으로 다항식에는 해결책이 없다). 이를 통해 "자연적"이라는 것은 다항식 시간에 해결할 수없는 문제로부터 다항식 알고리즘을 강제하는 방식으로 문제가 제한되지 않는다는 것을 의미합니다.

내가 쿡의 "자연"개념을 이해하는 올바른 방법을 확신하지 못하는 이유는 "자연"자격이 무엇을하고 있는지 확실하지 않기 때문입니다. "자연"을 삭제하면 "다항식 시간 알고리즘이 있으면 문제가 실현 가능한 알고리즘이 있습니다"라는 메시지가 나타납니다. 그러나 이것은 완벽하게 합리적으로 보입니다. 배낭 백 문제에는 다항식 시간 알고리즘이 없기 때문에 실현 가능한 알고리즘이 없습니다. 배낭-고정-매개 변수-추적 능력은 다항식 시간 알고리즘을 가지고 있기 때문에 실행 가능한 알고리즘을 가지고 있습니다. 두 계정 모두 실현 가능한 알고리즘의 문제가 무엇인지에 대한 개념과 일치하는 것 같습니다.

나는 이것이 Cook의 의미를 이해하는 데 가장 좋은 안내서라고 생각합니다. Cook은 실제로 그것을 돌아서 정의하기 때문입니다. 또한이 자연스런 개념이이 StackExchange 질문에 의해 포착된다고 생각합니다. [5}

그러나 또 다른 것이 있습니다.

두 번째 가능한 답변

William Gasarch는 그의 논문에서 "문제를 복잡성 클래스로 분류"[6]에서 "자연적인 문제가 무엇인지에 대한 문자적인 토론"을 수행 할 것이라고 말했다. 논문 마지막 부분에서, [8] 대화 형식의 대화가 있는데, 한 명의 화자는 다음과 같이 말합니다.

"문제가 자연스럽게되는 이유는 무엇입니까? 한편으로, 나는 P에 있지 않기위한 목적으로 만 문제를 구성하지 않았습니다. 그래서 그것은 바보 같은 엉덩이 문제가 아닙니다. 그러면 자연 스러움의 수준으로 올라 갑니까?"

따라서 Gasarch가 말하는 것은 의도적으로 구성되지 않은 문제가 P에 있지 않다고 말할 수 있다면 자연적이라는 것입니다. 약간 독창적 인 해석으로 Gasarch는 최소한 Cook과 일치하는 말을하는 것처럼 보입니다. 반면에 Cook은 문제가 매개 변수가 없으면 자연 스럽다고 말합니다. 그러나 일관성만으로는 정의를 얻지 못합니다.

세 번째 가능한 답변

"잘 제기 된 문제"에 대한 위키피디아 항목에서 [9], 잘 제기 된 문제에 대한 Jacques Hadamard의 개념에 대한 정의가 제시되고, 잘 제기 된 문제는 "자연적인"문제로 간주 될 수 있다고 언급된다 "이러한 문제로 모델링 된 물리적 프로세스가 있다는 점에서" 따라서 물리적 프로세스를 모델링하는 경우에만 문제가 발생합니까?

Wikipedia에 따르면 Hadamard의 자격은 (i) 솔루션이 존재하고 (ii) 솔루션이 독특하며 (iii) 솔루션의 동작이 초기 조건에 따라 지속적으로 변경됩니다. 이것은 다른 두 가지 정의와는 다른 것 같습니다. 내 의미는 "자연"이 정확히 같은 방식으로 사용되지 않는다는 것입니다 (특히 물리적 프로세스를 모델링하는 경우에만 문제가 자연적이라는 해석에 동의하는 경우). 이 질문에 대한 나의 연구에서, 그리고 접점이 있습니다.

그래서 내 질문은 : 자연적인 문제는 무엇입니까? 이 답변 중 일부 또는 그 조합이 맞습니까? 내가 누락 된 다른 답변이 있습니까? 감사합니다.

1. "문제에 대한 진술", 2006 년, Clay Mathematics에 온라인으로 게시; 제목 : "P 대 NP 문제", http://www.claymath.org/sites/default/files/pvsnp.pdf
2. 피. 삼
3. 피. 4
4. https://ko.wikipedia.org/wiki/Knapsack_problem#0.2F1_Knapsack_Problem
5. P에서 가장 잘 알려진 자연 문제? 자연스러운 문제 가이 설명을 따르지만 k 를 최대로 제한하지는 않습니다 .
6. https://www.cs.umd.edu/~gasarch/papers/classcomp.pdf
7. 피. 2.
8. 피. 47-8, 섹션 25
9. https://ko.wikipedia.org/wiki/Well-posed_problem

분명히, 공식화 할 수있는 것은 아닙니다. 그것은 정리가 아니며, 세계에 대한 관찰입니다. "자연"이 주관적이라면 괜찮습니다. 유추를 위해 누군가가 "통합은 예술인 반면에 미분은 역학이다"라고 말하면 그들은 "역학"과 "예술"을 공식화하고 그 진술을 증명하도록 초대하지 않고 일반적인 관점을 전달하려고합니다. 그래서 당신은 여기 나무를 위해 숲을 놓치고있을 수도 있습니다. [각주]

저자의 요점은 무엇입니까

당신의 제안을 따르고 "자연"이라는 단어를 버리자.

타당성 논문 (첫 번째 초안) : 문제는 다항식 시간 알고리즘을 사용하는 경우 실행 가능한 알고리즘이 있습니다.

$n^{1000}$$n^{1000}$

따라서 저자는 실제 세계에서 실제로 해결하고자하는 문제와 비 복잡성 이론의 삶에서 "자연적으로"직면하는 다른 문제에 대해 논문이 여전히 정확하다고 생각합니다. 그래서 그는 이러한 문제들을 "자연적"이라고 부르고 타당성 논문을 수정합시다.

자연스럽고 자연스럽지 않은 것

실제로 가장 일반적으로 발생하는 문제는 가장 짧은 경로, 정렬, 편집 거리, 근본 찾기, 출장 판매원, 배낭과 같은 자연스러운 것으로 간주됩니다.

확실히, 복잡성 결과를 입증하고 특정 클래스를 참조하기 위해 구체적으로 생각되고 정의 된 문제는 자연스럽지 않습니다. 예를 들어, "이 문자열은 튜링 머신에 의해 n 개의 시간에 k 개의 상태로 생성 될 수 있습니다".

선형 프로그래밍과 같이 명확하지 않은 것이 있지만 너무 걱정하지 않아도됩니다. 많은 알고리즘과 복잡성 문제를 연구하고 일반적인 아이디어에 동의하는지 또는 모순되는 것으로 생각되는 예를 찾으십시오.

(어쨌든 나는 "잘 제기 된 문제"경로가 의심 스럽다고 생각합니다.)

[각주] 나는 당신이 그것을 의도한다고 생각하지 말고 그것을 공식화하려고하지 말 것을 권장하지 않습니다.

문제 정의가 순환 가능한지 대략적으로 요약합니다.

• 인위적인 문제는 클래스 기준을 충족시키기 위해 만들어진 문제입니다.

• 당연히 문제는 클래스 기준을 채우는 구성 방법에 의존하지 않습니다.

NPI가 존재한다면 Ladner의 건설은 NP-intermediate로 알려져 있습니다.

$P \subsetneq NP$

주의 : 그러한 후보를 증명하려는 행운을 빕니다. 이것은 접근하기 쉬운 것처럼 보이지만 자연 적 으로 증거에 대한 몇 가지 장벽을 개발 했습니다 .