최단 경로 문제의“친척”

음이 아닌 간선 가중치와 두 개의 고유 정점 $s,t$ 로 연결된 무 방향 그래프를 고려하십시오 . 다음은 모두 다음과 같은 형식의 일부 경로 문제입니다. 경로에서 가장자리 가중치의 일부 기능이 최소가 되도록 $s-t$ 경로를 찾으십시오 . 이런 의미에서 그것들은 모두 최단 경로 문제의 "상대적"입니다. 후자의 함수는 단순히 합계입니다.

참고 : 우리는 간단한 경로, 즉 반복 정점이없는 것을 찾고 있습니다. 문헌에서 이러한 문제에 대한 표준 이름을 찾지 못했기 때문에 스스로 이름을 지정했습니다.

최소 무게 차이가있는 경로 : 경로에서 가장 큰 가장자리 가중치와 가장 작은 가장자리 가중치의 차이가 최소가 되도록 $s-t$ 경로를 찾으십시오 .

가장 부드러운 경로 : 경로에서 가장 큰 단계 크기가 최소가 되도록 $s-t$ 경로를 찾으십시오. 여기서 단계 크기는 두 개의 연속 모서리 사이의 무게 차이의 절대 값입니다 .

최소 고도 가있는 경로 : 경로를 따라 단계 크기의 합으로 경로의 고도를 정의합니다 (위의 단계 크기 정의 참조). 최소 고도로 $s-t$ 경로를 찾으십시오 .

최소 소수 가중치를 가진 경로 : 모든 모서리 가중치가 양의 정수라고 가정하면 가중치가 소수 가되도록 $s-t$ 경로를 찾으십시오 . 그러한 경로가 있다면, 가능한 가장 작은 무게를 가진 경로를 찾으십시오.

질문 : 이러한 경로 문제에 대해 알려진 것은 무엇입니까? (그리고 비슷한 정신으로 생각할 수있는 다른 것들이 가중치의 다른 기능을 적용합니다.) 일반적으로, 다항식 시간에서 에지 가중치의 기능을 최소화 할 수 있고 NP-hard 인 지침이 있습니까?

$s$$t$$s-t$

첫 번째 문제에 대한 답변은 다음과 같습니다.

최소 무게 차이가있는 경로 : 경로에서 가장 큰 가장자리 가중치와 가장 작은 가장자리 가중치의 차이가 최소가 되도록 s - t 경로를 찾으십시오 $s-t$

1984 년의 논문에 따르면 다항식 시간의 조합 최적화 문제에 대한 타당성을 결정할 수있을 때마다 (가중치되지 않은 경우 솔루션이 존재 함) 다항식 시간에서 가장 크고 작은 차이를 최소화하는 솔루션을 찾을 수 있음을 보여줍니다 비용 계수 (가중 된 경우) :

S. Martello, WR Pulleyblank, P. Toth, D. de Werra
균형 최적화 문제
운영 리서치 레터 3, 1984, 275-278 페이지

이것은 당신의 질문에 다항식 시간 알고리즘을 암시합니다.

$\tilde{O}(|E|^2)$$|E|$$|E|$

$\tilde{O}(|E|)$$|E|^2$$k$$k-1$

$S$$Θ(n/\log n)$$\mathrm{P}^S$이진 가중치의 경우에도 : 각 포인트에서 폴리 노 미적으로 많은 ( 따라 ) 가장 낮은 경로 가중치를 추적하기에 충분합니다 . 그러나 프라임 가중치를 사용하면 가중치 가중치의 제수를 다양 화해야 할 수도 있습니다 (가장 낮은 가중치를 추적하는 대신).$S$

가장 부드러운 경로 : NP 완료. 자체 교차를 허용하면 시간 로 해결할 수 있지만 자체 교차가없는 버전의 경우 변수 가있는 3-SAT가 줄어 듭니다 . 꼭짓점 과 각 절의 꼭짓점을 갖습니다. 각 변수 ( )에 대해 에서 까지의 부드러운 경로 (필요한 경우 추가 정점 사용)를 추가 하고 양의 발생하는 모든 절을 통과 하는 절의 유사한 경로를$\tilde{O}(|E|)$$n$$s=v_0,v_1,...,t=v_n$$x_i$$i<n$$v_i$$v_{i+1}$$x_i$$¬x_i$. 각 경로의 첫 번째 및 마지막 가장자리 가중치를 1 (또는 다른 상수)로 설정하지만 다른 경로가 매끄럽지 않도록 가중치를 선택하십시오. 마지막으로 모든 절 정점과 인접한 모서리를 복제합니다. 이 방법으로 각 조항을 최대 두 번 방문 할 수 있으며 3-SAT이면 충분합니다.