PH에 대한 시간 계층 정리가 있습니까?

이것은 시간의 다항식 계층 풀 수있는 문제가있는 것은 사실이다 으로 풀 수없는 (다항식 계층의 일부 레벨 기계 튜링 교류에 의해) 의 다항식 계층의 모든 수준? 다시 말해, P와 NP에 대한 다항식 계층에 대한 시간 계층 정리가 존재 하는가? 있다면-참조가 좋을 것입니다. $O(n^k)$ $O(n^{k-1})$

내가 직면 한 어려움은 모든 레벨의 계층에서 머신을 시뮬레이션 할 때 시뮬레이트 머신이 계층의 특정 레벨에 있지 않다는 것입니다. 관련 질문으로 이어지는 것은 무엇입니까-시뮬레이션 기계가 가장 작은 클래스는 무엇입니까? 교대 (또는 / ) 로 클래스를 정의하는 데 의미가 있습니까? $O(n)$ $O(\log n)$ $O(\log \log n)$

— 요셉
소스

양자화 된 부울 공식이 PSPACE- 완전하므로 선형 수의 교대를 사용하면 PSPACE가 제공됩니다.

— 데릭 스토리

답변:

예. 예를 들어, 임의의 기계를 직접 시뮬레이션하여 시간 계층 정리의 일반적인 증거를 사용하여 모든 에 대해 가 의 일부가 아님 을 표시 할 수 있습니다. . 에서 로 전환하는 이유 는이 대각선 화 인수에서 시뮬레이션하는 기계의 "반대"를 수행해야하기 때문에 시뮬레이션 기계가 실존 모드에있을 때 범용 모드에서 실행해야하기 때문입니다 , 그 반대. $c \geq 1$ $\Sigma_c TIME[n^k]$ $\Pi_c TIME[n^{k-1}]$ $\Sigma$ $\Pi$

에서 전환하지 않고도 이와 같은 결과를 얻을 수 있습니다 . 모든 에 대해 는 의 하위 집합이 아닙니다 . 이는 Zak (참조 : " Touring machine time hierarchy ", 이론적 컴퓨터 과학 26 (3) : 327--333, 1983) 으로 인한 시간 계층 구조 증명을 사용하여 수행 할 수 있습니다 . 이 버전의 시간 계층 정리에 대한 명시 적 참조는 Dieter van Melkebeek 의 " 만족도 및 관련 문제에 대한 하위 경계 조사 "(홈 페이지에서 사용 가능)를 참조하십시오. $\Sigma$ $\Pi$ $c \geq 1$ $\Sigma_c TIME[n^k]$ $\Sigma_c TIME[n^{k-1}]$

— 라이언 윌리엄스
소스

이 답변은 모든 계층의 계층마다 시간 계층 정리가 존재 함을 분명히 보여줍니다. 이것은 PH에 대한 그러한 정리의 존재를 즉시 나타내지는 않습니다.

— Joseph

더 강한 질문은 긍정적으로 해결하기 어려울 것입니다. 이는

합니다. 가 가정

및 언어

의

아닌

모든 대

. 그런 다음

L O G S P A C E \neq N P

$LOGSPACE \neq NP$

c

$c$

L

$L$

Σ_{c} T I M E [n^{k}]

$\Sigma_c TIME[n^k]$

Σ_{d} T I M E [n^{k - 1}]

$\Sigma_d TIME[n^{k-1}]$

d

$d$

. 이것은 모든 언어

가

에 따라일부

에대해

에있기 때문입니다(사 비치 정리 형식 인수에 의해). 따라서

이면 실제로

모든 언어

L O G S P A C E \neq N P

$LOGSPACE \neq NP$

L \in L O G S P A C E

$L \in LOGSPACE$

Σ_{d} T I M E [n^{2}]

$\Sigma_d TIME[n^2]$

d

$d$

L

$L$

L O G S P A C E = N P

$LOGSPACE = NP$

은

에있으며,

에 표시하려는 내용과 모순됩니다.

Σ_{c} T I M E [n^{k}]

$\Sigma_c TIME[n^k]$

Σ_{d} T I M E [n^{2}]

$\Sigma_d TIME[n^2]$

d

$d$

— 라이언 윌리엄스

수정 된 질문에 대한 답변 (질문의 개정 4)은 아니오입니다. 결정 문제 경우 L은 시간 O (에 풀수 N ^K Σ에 의해) _I의 P 기계하고 L을 위한 오라클에 튜링 기계 선형 시간 해결할 수 L Σ이고, _{I +1} P 기계. 따라서 ∑ _i TIME [O ( n ^k )] ⊆ Σ _{i +1} TIME [O ( n )].

— 이토 츠요시
소스

아니요, 이것은

의 정의가 작동하는 방식이 아닙니다 . 만약

모두

, 다음

. 만약

Σ_{j} T I M E [t (n)]

$\Sigma_j TIME[t(n)]$

Σ_{j} T I M E [O (n^{k})] \subseteq Σ_{j + 1} T I M E [O (n)]

$\Sigma_j TIME[O(n^k)] \subseteq \Sigma_{j+1} TIME[O(n)]$

j, k

$j,k$

N P \neq c o N P

$NP \neq coNP$

및

모든

에 대해

실행합니다 Tautology에 대한 비 결정적 알고리즘의 시간. 그런 다음

N P = c o N P

$NP = coNP$

Σ_{j} T I M E [O (n^{k})] \subseteq Σ_{j + 1} T I M E [O (n)]

$\Sigma_j TIME[O(n^k)] \subseteq \Sigma_{j+1} TIME[O(n)]$

j, k

$j,k$

O (n^{c})

$O(n^c)$

여기서 첫 번째 포함은 가정에 의한 것이고 두 번째 포함은 표준 시뮬레이션 인수에서 따릅니다. 이것은 모순입니다.

N T I M E [O (n^{c^{2}})] \subseteq Σ_{2} T I M E [O (n)] \subseteq N T I M E [O (n^{c})]

$NTIME[O(n^{c^2})] \subseteq \Sigma_{2} TIME[O(n)] \subseteq NTIME[O(n^{c})]$

— 라이언 윌리엄스

@Ryan : 내가 사용한 정의는 다음과 같습니다. L∈ΣiTIME [t (n)] 언어 O∈Σ (i-1) P와 O를위한 oracle을 인식하는 비 결정적 t (n)-시간 튜링 머신이 존재하는 경우 L. 이것이 표준 정의라고 생각했지만 내 주장을 뒷받침 할만한 근거가 없습니다. 사용중인 정의는 무엇입니까?

— 이토 쓰요시

정의는 다음과 같습니다.

과 같은 선형 시간 술어

L \in Σ_{i} T I M E [t (n)]

$L \in \Sigma_i TIME[t(n)]$

R (x, y_{1}, \dots, y_{i})

$R(x,y_1,\ldots,y_i)$

은 참입니다.

x \in L ⟺ (\exists y_{1} : | y_{1} | \leq t (| x |)) \dots (\forall y_{i} : | y_{i} | \leq t (| x |)) R (x, y_{1}, \dots, y_{i})

$x \in L \iff (\exists y_1 : |y_1|\leq t(|x|))\cdots (\forall y_i : |y_i| \leq t(|x|))R(x,y_1,\ldots,y_i)$

— 라이언 윌리엄스

@ 라이언 : 좋아, 나는 그 정의를 몰랐다. 그것이 질문자가 원하는 것이면 내 대답은 적용되지 않습니다.

— 이토 츠요시