임계 값 함수의 하한

부울 함수의 의사 결정 트리 복잡성에서 하한 방법은 함수를 나타내는 (대략) 다항식을 찾는 것입니다. Paturi 는 표시되는 수량을 기준으로 대칭 부울 (부분 및 총) 함수의 특성을 나타 냈습니다.$\Gamma$:

정리 ( Paturi ) : Let$f$ 일정하지 않은 대칭 함수이며 $f_k=f(x)$ 언제 $|x|=k$ (즉, 해밍 무게 $x$ 이다 $k$). 대략적인 정도$f$표시 $\widetilde{deg}(f)$입니다 $\Theta(\sqrt{n(n-\Gamma(f))})$, 어디 $\Gamma(f)=\min\{|2k-n+1|:f_k\neq f_{k+1}\text{ and } 0\leq k\leq n-1\}$

이제 임계 값 함수로 지정하십시오. 즉 경우 입니다. 이 백서 (15 페이지 8 항 참조)에는 있습니다.$Thr_t(x)$$Thr_t(x)=1$$x\geq t$$\widetilde{deg}(f)=\sqrt{(t+1)(N-t+1)}$

임계 값 함수의 경우 때 함수가 0에서 1로 변경 되기 때문입니다 . 맞습니까?$\Gamma(Thr_t)=|2(t-1)-n+1|$$|x|=t-1$

Paturi의 정리를이 값에 직접 적용하면 다른 논문에보고 된 임계 값 함수의 하한을 얻지 못합니다. 위 의 값이 정확합니까? 내가 무엇을 놓치고 있습니까?$\Gamma$$\Gamma(Thr_t)$

편집 : 나는 또한 임계 적에 대한 양자 적의 하한을 계산하려고했습니다. 먼저 정리를 검토하겠습니다.

정리 (가중 양자 대적) 하자 부분 부울 함수, 그리고하자 및 (하드) 입력의 서브 세트. 하자 관계 및 설정 될 각각 . 하자 어떤 행과 관계의 모든 열에 1의 최소 수를 나타내는 각각, 그리고하자 관계의 어떤 행과 열에 사람의 나타낸다 최대 번호 각각. 그런 다음 입니다.$f$$A\subseteq f^{-1}(0)$$B\subseteq f^{-1}(1)$$R\subseteq A\times B$$R_i=\{(x,y)\in R : x_i\neq y_i\}$$1\leq i \leq n$$m,m'$$R$$\ell,\ell'$$R_i$$Q_2(f)=\Omega(\sqrt{\frac{m m'}{\ell \ell'}})$

I 정의한 경우 초과 1의 개수와 모든 입력의 세트 또는 동일 및 엄격 미만 1S 모든 입력을 , I는 (몇몇 대수 후에) 얻을 .$B$$t$$A$$t$$\frac{mm'}{\ell\ell'}=n^2 \ln(\frac{n}{t}) \ln(\frac{n}{n-t})$

그래서 나는 여전히 다른 논문에서보고 된 것과 같은 하한을 얻지 못했습니다. 이제이 범위를 비교해 봅시다. 아래 그림은 이고 제곱근이없는 경우 Paturi의 정리 경계 (파란색), 대적 경계 (빨간색) 및 다른 논문에서보고 된 경계 (녹색)를 비교 한 것입니다.$n=200$

내 질문은 :

1- 다른 논문에 바운드를 어떻게보고합니까?

2- 그림에서 볼 수 있듯이보고 된 하한 (녹색)도 하한도 Paturi의 경계와 적의 경계입니다. "실제"하한을 약화시키지 않습니까? 예를 들어, Paturi 우리가이 결합 된 모든 대칭 기능, 그럼 어떻게하면 위 양자 계산 행 일치하는 얻을 수 있다고 말한다 ( )? 그 상한이 파투 리의 정리를 위반하지 않습니까?$\sqrt{(t+1)(n-t+1)}$

원래 바인딩 된 에서 의 범위를 가져 오거나 볼 수있는 방법을 모르겠습니다 그러나 다음은이 경계가 점진적으로 상수 요소까지 동일하다는 증거입니다.$\sqrt{(t+1)(n-t+1)}$$\sqrt{n(n-\vert (2(t-1) -n+1 \vert )}$

먼저 ( 임계 함수가 항상 이므로 제외합니다. ) $t = 0$$1$

$$n(n-\vert (2(t-1) -n+1 \vert) = \left\lbrace \begin{array}{ll} n(2t-1) & 1 \leq t \leq n/2+1/2\\ n(2n-2t+1) & n/2+1/2 \leq t \leq n-1 \end{array} \right.$$

정의 , 및 .$f_1(t) = n(2t-1)$$f_2(t) = n(2n-2t+1)$$g(t) = (t+1)(n-t+1)$

이제 분수 , , 및 분수 의 최대 값 ( 정의 된 간격 내 에 따라)을 계산해야 . 그래프를 사용하여 미분 미적분 또는 근사 로이 작업을 수행 할 수 있습니다 ( 충분히 큰 경우).$t$$f_1(t)/g(t)$$f_2(t)/g(t)$$g(t)/f_1(t)$$g(t)/f_2(t)$$n$

$f_1(t)/g(t) \leq f_1(n/2+1/2)/g(n/2+1/2) \leq \dfrac{n^2}{n^2/4} = 4$

$f_2(t)/g(t) \leq f_2(n/2+1/2)/g(n/2+1/2) \leq \dfrac{n^2}{n^2/4} = 4$

$g(t)/f_1(t) \leq g(1)/f_1(1) = \dfrac{2n}{n} = 2$

$g(t)/f_2(t) \leq g(n-1)/f_2(n-1) = \dfrac{n/2}{n/3} \leq 3/2$

그러면 및 원하는 결과

$$n(n-\vert 2(t-1)-n-1\vert) = \Theta((t+1)(n-t+1))$$ $$\sqrt{n(n-\vert 2(t-1)-n-1 \vert)} = \Theta(\sqrt{(t+1)(n-t+1)}).$$

이 결과를보다 쉽게보고 얻을 수있는 방법이 있습니까?