VC 치수 추정

다음 문제에 대해 알려진 것은 무엇입니까?

수집 주어 함수 , 가장 큰 하위 컬렉션 찾을 제약에 따라 그런 VC-치수 어떤 정수에 대한 . $C$ $f:\{0,1\}^n\rightarrow\{0,1\}$ $S \subseteq C$ $(S) \leq k$ $k$

이 문제에 대한 근사 알고리즘 또는 경도 결과가 있습니까?

— 아론 로스
소스

이 기능은 | S | 최대화에 아무런 역할을하지 않는 것 같습니다

— Suresh Venkat

함수의 선택은 S의 VC 차원을 결정합니다. 문제는 VC 차원 제약 조건에 따라 가능한 한 많은 클래스의 함수를 찾는 것입니다.

— Aaron Roth

내가 참조. 따라서 "형상 토지"로 변환하면 범위 모음이 제공되고 (f는 특성 함수로 작동) 경계 VC 치수의 가장 큰 하위 모음을 원합니다.

— Suresh Venkat

S

$S$

O (2^{n k})

$O(2^{nk})$

C

$C$

n

$n$

C

$C$

2^{n} \times | C |

$2^n\times |C|$

2^{n} \times | C |

$2^n\times |C|$

2^{n \times k}

$2^{n\times k}$

k

$k$

C

$C$

답변:

$n^{1-\epsilon}$ $k=1$ $n$

$P, Q$ $A$ $P \cap Q, P \backslash Q, Q \backslash P, (P \cup Q)^c$

$k=1$ $(V, \mathcal{S})$ $U \subseteq V$ $(U, \{S \cap U \mid S \in \mathcal{S}\})$

$\mathcal{S}$

원래 답변

$k=1$ $S$ $S$ $n^{1-\epsilon}$ $\Theta(n)$

$A$ $P, Q$ $A$ $P \cap Q, P \backslash Q, Q \backslash P, (P \cup Q)^c$

$G=(V, E)$ $H=(X, S)$ $X = V \uplus E \uplus \{0\}$ $0$ $v$ $G$ $T_v$ $S$

{v} \cup {e ∣ e is an edge incident to v} .

$\{v\} \cup \{e \mid e \textrm{ is an edge incident to }v\}.$

$\{T_v\}_{v \in U}$ $U$ $G$

그러나 원래 (기본) 문제의 경우 더 많은 생각이 필요합니다 ... 흥미로워 보입니다!

— daveagp
소스

일부 관련 관련 작업 : 표현에서 VC 차원 자체를 추정하는 것 (경계 VC 차원을 가진 큰 부분 집합을 찾는 것은 물론) 은 LOGNP- 완료입니다 (LOGNP는 n 비트의 비결정론으로 제한됩니다). 레인지 공간의 표현이 더 컴팩트 할 때 VC 치수 를 추정하고 근사화 하는 것과 관련된 약간의 관련 작업도 있습니다 (내부 참조도 참조하십시오)

— 수레 쉬 벤 카트
소스