스펙트럼 그래프 이론을 통해서만 얻은 증거

28

스펙트럼 그래프 이론에 대한 관심이 높아지고 있으며, 지금까지 내가 읽은 것보다 더 자세히 읽지 않은 몇 가지 문서를 수집하기 시작했습니다.

그러나 그래프 소스의 일부 결과는 스펙트럼 기반 기술만을 사용하여 입증되었으며 현재까지 증거가 없다는 몇 가지 출처 (예 : 저기 ) 에서 나타난 성명서가 궁금 합니다. 이러한 기술을 우회하는 것으로 알려져 있습니다.

그것을 건너 뛰지 않으면, 지금까지 읽은 문헌에서 그러한 예를 본 것을 기억하지 못합니다. 그러한 결과의 예를 아는 사람이 있습니까?

— 안토니 라 바레
소스

문제의 제목은 스펙트럼 그래프 이론을 통해서만 얻을 수있는 증거를 요구하고 있지만 지금까지는 그래프 그래프 이론에 의해서만 얻은 증거를 요구하고 있음을 나타냅니다. 이것들은 완전히 다른 두 가지 질문입니다. 그래서 제목이 오도의 소지가 있기 때문에 제목을 변경했습니다.

— Dave Clarke

@ 데이브 나는 롤백 한

— 수레 쉬 벤 카트

5

Cvetković, Doob 및 Sachs 의 그래프 스펙트럼 7 장에서는 스펙트럼을 명시 적으로 언급하지 않지만 스펙트럼 기술을 사용하여 증명할 수있는 이론의 예를 많이 보여줍니다. 내 생각에 이것들 중 다수는 알려진 비 스펙트럼 증거가 없지만, 사례별로 확인해야합니다. 많은 경우에 가장 단순하거나 가장 자연스러운 증거는 스펙트럼을 사용합니다.

— Timothy Chow

@ 티모시 차우 : 고마워, 내 손을 잡으려고 노력할 것이다.

— Anthony Labarre

@ TimothyChow : 당신은 이것을 대답해야한다고 생각합니다.

— Suresh Venkat

12

호프만 - 싱글 정리 .

— 콜린 맥퀸
소스

Hoffman-Singleton도 저의 첫 생각이었습니다. 그러나 스펙트럼이 아닌 증거가 있는지 여부와 너무 어렵거나 아무도 시도하지 않았기 때문에 그렇지 않은지 모르겠습니다. 표준 증거는 매우 깔끔하고 간결하므로 비 스펙트럼 증거를 얻는 동기가 무엇인지 알지 못합니다.

— mhum

9

양자 컴퓨팅에서이 결과는 어떻습니까?

마리오 세게 지 Markov Chain 기반 알고리즘의 양자 속도 향상. FOCS'04에서.

그는 Markov 사슬을 양자 Markov 사슬로 확장하고, 양자 타격 시간이 고전적인 타격 시간의 제곱근에 의해 상한임을 보여줍니다. 그는 고전 마르코프 사슬의 특이 벡터를 양자 마르코프 사슬의 특이 벡터와 연관시킴으로써이를 수행합니다. 이 논문 이전에는 랜덤 워크와 퀀텀 워크 사이에 알려진 관계가 없었습니다. 비 스펙트럼 기술을 사용하여 동일한 작업을 수행하는 방법을 상상할 수 없습니다.

— 마르코스 빌라 그라
소스

8

나는 엄밀히 말하면 우호 가치 를 피하는 우정 정리의 증거가 존재한다고해도 우정 정리 (후 네케의 논문 참조 )가 좋은 예라고 생각합니다. 고유 값을 피하는 증거는 전체적으로 스펙트럼 증거보다 더 지저분합니다.

(우정 정리는 사람들의 방에 모든 사람들이 정확히 하나의 공통된 친구를 가지고 있다면 다른 모든 사람들을 아는 사람이 있다고 말합니다.)

— 티모시 차우
소스

8

무 방향 가중치 그래프 의 라플라시안 행렬 이라고하자 . 그래프의 sparsifier 그래프이다 모든 위해되도록 이하 보유 : 스펙트럼 방법을 사용 Batson 등. 모서리를 사용하여 이러한 스플 라디 파이어를 구성하는 방법을 보여줍니다 . $L_G$ $G = (V,E,w)$ $G$ $H$ $x \in R^V$

x^{T} L_{H} x (1 - ϵ) \leq x^{T} L_{G} x \leq x^{T} L_{H} x (1 + ϵ) .

$x^T L_H x (1-\epsilon) \le x^T L_G x \le x^T L_H x (1+\epsilon).$

O (n / ϵ^{2})

$O(n/\epsilon^2)$

정리의 진술이 논쟁의 여지없이 "내재적으로 스펙트럼"은 아니지만, 스펙트럼 기법을 사용하지 않고 어떻게이 결과 나 이와 같은 결과를 얻을 수 있는지는 알려져 있지 않습니다.

— 레브 레이 진
소스

진술이 본질적으로 스펙트럼이 아닌지 여부에 대해서는 논쟁의 여지가 있습니다. 문자 그대로의 의미에서, 당신은 옳지 만, 2 차 형태가 나타나는 이유에 대한 유일한 이론적 근거는 스펙트럼입니다.

— Suresh Venkat

1

이것은 일종의 스펙트럼 진술입니다. 은 A가 무향 그래프의 라플라시안 인 경우 A의 고유 값의 볼록 껍질입니다. 조건은 대략 동일한 스펙트럼을 가진 다른 그래프를 요구합니다. 그러나 다른 방법 으로 모서리를 가진 일반 오래된 컷 스파 저를 얻는 방법조차 알려져 있지 않습니다 .

F (A) = {x^{T} A x : | | x | |_{2} = 1}

$F(A) = \{x^TAx: ||x||_2 = 1\}$

O (n / ϵ^{2})

$O(n/\epsilon^2)$

— Aaron Roth

물론-이 스파 저 파이어를 다른 방법으로 얻는 것을 상상할 수 있습니다. 그러나 그렇습니다. 이것은 최고의 예가 아닐 수도 있습니다.

— Lev Reyzin