Sarnak의 Mobius 추측에 대한 반례로 효율적으로 계산 가능한 기능

최근 Gil Kalai 와 Dick Lipton 은 수 이론과 리만 가설의 전문가 인 Peter Sarnak이 제안한 흥미로운 추측에 관한 멋진 기사를 썼습니다.

어림짐작. 뫼비우스 함수 라고 하자 . 가정하자 이다 입력과 함수 의 이진 표현의 형태로 그리고, $\mu(k)$ $f: \mathbb{N} \to \{-1,1\}$ $\mathsf{AC}^0$ $k$ $k$
$\sum_{k \leq n} μ (k) \cdot f (k) = o (n) .$ $\sum_{k \leq n} \mu(k) \cdot f(k) = o(n) \text.$

참고 경우 것이 우리는의 등가 형태가 프라임 번호 정리 . $f(k) = 1$

업데이트 : MathOverflow의 Ben Green 은 추측을 입증 하는 짧은 논문 을 제공합니다 . 종이를보십시오 .

반면에, 우리는 를 설정함으로써 범위를 약간 수정하여 $f(k) = \mu(k)$ $\\{-1,1\\}$ )의 결과 합은 추정치 가 상부 바운드 에서 계산 될 수있는 에 제안 구속되도록 추측에은을 완화 할 수없는 함수 . 내 질문은 :

\sum_{k \leq n} μ (k)^{2} = Ω (n) .

$\sum_{k \leq n} \mu(k)^2 = \Omega(n) \text.$

μ (k)

$\mu(k)$

U P \cap c o U P \subseteq N P \cap c o N P

$\mathsf{UP} \cap \mathsf{coUP} \subseteq \mathsf{NP} \cap \mathsf{coNP}$

f (k)

$f(k)$

N P

$\mathsf{NP}$

최저 복잡성 클래스 란 현재 우리가 알고있는 등, 그 함수 에서 만족 추정 특히, 일부 이론가들은 계산 이 없다고 믿었 으므로 다른 함수 제공 할 수 있습니다 $\mathsf{C}$ $f(k)$ $\mathsf{C}$
$\sum_{k \leq n} μ (k) \cdot f (k) = Ω (n) ?$ $\sum_{k \leq n} \mu(k) \cdot f(k) = \Omega(n) \text{?}$ $\mu(k)$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{P}$ $f(k)$ 요약에서 선형 성장을 의미하는 것은 무엇입니까? 더 나은 범위를 얻을 수 있습니까?

— 창시 엔 치치 張顯之
소스

P ^ {BQNC}와 같은 일부 양자 클래스도 작동해야합니다. 팩토링은 해당 클래스에 있기 때문입니다.

— Robin Kothari

f (k) = k_{i}

$f(k) = k_i$

i

$i$

@ 에마누엘레, 좋은 질문입니다. k의 이진 표현에서 i 번째 비트의 표시기 함수는 선형 "브래킷 다항식"이지만 계수가 매우 높으므로 Green-Tao 정리에서 경계가있는 Mobius 함수의 상관 관계를 따르지 않을 수 있습니다. -단계 nilsequences. 경계 단계 nilsequences는 특수한 경우로 대괄호 다항식을 경계로 사용하지만 결과는 계수의 크기에 약간의 제한이있을 수 있습니다.

— Luca Trevisan

f \in N C^{0}

$f \in NC^0$

f

$f$

{- 1, 0, 1}

$\{-1,0,1\}$

{- 1, 1}

$\{-1,1\}$