회로 크기에 대한 계층 정리

회로 복잡도에 대한 크기 계층 정리가이 분야에서 큰 돌파구가 될 수 있다고 생각합니다.

수업 분리에 대한 흥미로운 접근법입니까?

질문의 동기는 우리가 말해야한다는 것입니다

크기 회로로 계산할 수없고 f ( n ) < o ( g ( n ) ) 인 크기 g ( n ) 회로 로 계산할 수있는 기능이 있습니다 . (그리고 아마도 깊이에 관한 것)$f(n)$$g(n)$$f(n)<o(g(n))$

따라서 인 경우 속성이 부자연 스럽습니다 (큰 상태를 위반 함). 우리는 균일 한 설정이 아니기 때문에 대각선 화를 사용할 수 없습니다.$f(m)g(n) \leq n^{O(1)}$

이 방향으로 결과가 있습니까?

실제로는 모든에 대해, 그 표시 할 수있다 충분히 작은 (이하 2 N / N ), 함수가 크기의 회로들에 의해 계산할 수있는 F ( N ) 가 아닌 크기의 회로들에 의해 F ( N ) - O ( 1 ) , 또는 F ( N ) - (1) , 사용자가 허용하는지 게이트의 종류에 따라.$f$$2^n/n$$f(n)$$f(n)-O(1)$$f(n)-1$

여기서 기능이 있음을 나타낸다는 크기에서 계산할 수있는 간단한 인자 인 가 아닌 크기 F ( N ) - O ( N은 ) .$f(n)$$f(n)-O(n)$

우리는 그것을 알고 있습니다 :

1. 적어도 2 n / O ( n )의 회로 복잡도, 특히 f ( n ) 이상의 회로 복잡도를 요구 하는 함수 가있다 .$g$$2^n/O(n)$$f(n)$
2. 함수 되도록 Z ( 여기서 x ) = 0 마다 입력 X는 일정한 크기의 회로에 의해 계산할 수있다.$z$$z(x)=0$$x$
3. 두 함수 과 g 2 가 하나의 입력에서만 다른 경우 회로 복잡도는 최대 O ( n ) 만큼 다릅니다$g_1$$g_2$$O(n)$

N 입력 에서 가 0이 아닌 것으로 가정하십시오 . 이러한 입력을 x 1 , … , x N이라고 합니다. 우리 각각에 대해 고려할 수 난 , 함수 g I ( X ) 세트의 지시 함수 인 { X 1 , ... , X I } ; 따라서 g 0 = 0 및 g N = g 입니다.$g$$N$$x_1,\ldots,x_N$$i$$g_i(x)$$\{ x_1,\ldots,x_i \}$$g_0=0$$g_N=g$

분명히 일부가 되도록 g I + 1 회로 복잡성을 갖는 것보다 더 F ( N ) 및 g 난 미만 회로 복잡도를 갖는다 F ( N ) . 그런데 g 난 미만 회로 복잡도를 갖는다 F ( N ) 지만 이상의 F ( N ) - O ( N ) .$i$$g_{i+1}$$f(n)$$g_i$$f(n)$$g_{i}$$f(n)$$f(n) - O(n)$

이 결과는 간단한 계산 인수를 사용하여 증명할 수 있습니다. 입력 의 첫 번째 비트에 적용된 임의 함수를 고려하십시오 . 이 함수는 Riordan과 Shannon의 계산 인수에 의한 회로 복잡도 ( 1 + o ( 1 ) ) ( 2 k / k ) 와 상한을 일치시키는 것이 거의 확실 합니다. 따라서, 픽업 K가 되도록 2 g ( N ) < 2 K / K < F ( n은 ) / 2 우리 크기 구별 할 수 $k$$(1+o(1))(2^k/k)$$k$$2g(n) < 2^k/k < f(n)/2$ 크기의 F ( N ) . 문제의 함수가 반드시 계산 가능할 필요는 없지만 표준 기법에 의해 지수 시간 계층 구조에 넣을 수 있습니다 ( k 의 올바른 값을 계산할 수있는 한). 물론 2 n / n 보다 큰 범위를 증명할 수는 없습니다. 왜냐하면 그것이 함수의 최악의 회로 복잡성이기 때문입니다. $g(n)$$f(n)$$k$$2^n/n$

문제의 속성이``작은 회로가 없음 ''이므로 함수의 진리표에서 쉽게 계산할 수 없기 때문에 이러한 유형의 주장에는 자연적인 증거가 적용되지 않습니다. 이 유형의 계산이 얼마나 복잡한 클래스에서 얼마나 낮은 지 명확하지 않습니다. 계산 계수를 사용하여 하한을 증명할 수없는 이유가 있습니까? 내가 아는 한에서는 아니다. $NE$