독립 세트의 LP 완화

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최대 독립 세트의 다음 LP 완화를 시도했습니다.

max \sum_{i} x_{i}

$\max \sum_i x_i$

s.t. x_{i} + x_{j} \leq 1 \forall (i, j) \in E

$\text{s.t.}\ x_i+x_j\le 1\ \forall (i,j)\in E$

x_{i} \geq 0

$x_i\ge 0$

내가 시도한 모든 입방체가 아닌 그래프에 대해 모든 변수에 대해 $1/2$ 를 얻습니다 .

연결된 모든 3 차 비 이중 그래프에 해당됩니까?
이러한 그래프에 더 적합한 LP 완화가 있습니까?

03/05 업데이트 :

다음은 Nathan이 제안한 클릭 기반 LP 이완의 결과입니다.

여기서 실험을 요약했습니다 . 흥미롭게도, 가장 간단한 LP 이완이 필수 인 비 이중 그래프가 몇 개있는 것 같습니다.

graph-theory co.combinatorics linear-programming

— 야로슬라프 불라 토프
소스

솔루션 은 확실히 독특하지 않습니다. 3 차 이분 그래프 에서 한 부분 은 이고 다른 부분은 인 최적의 해를 구할 수 있습니다 .

x_{i} = 1 / 2

$x_i = 1/2$

x_{i} = 1

$x_i = 1$

x_{i} = 0

$x_i = 0$

— Jukka Suomela

1

죄송합니다. 중요한 부분을 놓쳤습니다. 이분자가 아닌 입방 그래프 만 고려합니다. 모든 이분 입방 그래프 나는 통합 솔루션을 가지고 시도

— 야로 슬라브 Bulatov

고유하지 않은 솔루션을 피하려면 "연결된"을 추가해야합니다.

— Jukka Suomela

2

(1) 비 음성 제약을 쓰는 것을 잊었습니다. (2) 이분 그래프의 경우,이 LP 완화의 최적 값은 항상 독립 세트의 최대 크기와 같습니다. 이것은 코니 그 정리의 즉각적인 목록 이다 .

— 이토 쓰요시

2

@Yaroslav : 부수적 인 질문 :이 그래프를 어떻게 그리나요?

— Tim

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이분자가 아닌 연결된 입방 그래프는 고유의 최적 솔루션 ; 이분자 입방 그래프에는 최적의 최적 솔루션이 있습니다. $x_i = 1/2$

증명 : 3 차 그래프에서 모든 제약 조건 에 대해 하면 이므로 최적 값은 최대 입니다. $3n/2$ $x_i + x_j \le 1$ $\sum_i 3 x_i \le 3n/2$ $n/2$

모든 대한 해 는 사소하게 실현 가능하므로 최적입니다. $x_i = 1/2$ $i$

이분자 입방 그래프에서 각 부분에는 노드의 절반 이 있으므로 한 부분 의 해 도 최적입니다. $x_i = 1$

최적의 솔루션은 해야합니다. 즉, 이어야 하고 따라서 각 모서리 에 대해 이어야합니다 . 따라서 홀수주기가있는 경우주기의 각 노드에 대해 를 선택해야합니다 . 그런 다음 그래프가 연결되면이 선택 사항이 모든 곳에 전파됩니다. $\sum_i 3 x_i = 3n/2$ $x_i + x_j = 1$ $\{i,j\}$ $x_i = 1/2$

— 주카 수오 멜라
소스

2

내가 질문에 대한 의견을 썼을 때, 당신은 완전한 최적 솔루션의 존재를 증명하기 위해 두 부분 만 필요합니다 (그러나 이것은 당신과 다른 증거를 요구합니다).

— 이토 쓰요시

@ 츠요시 : 네, 코니 그 정리는 명심해야합니다. 예를 들어, 위의 관측과 함께, 모든 이분자 입방 그래프는 1- 인수 분해 (즉, 3 개의 완벽한 매칭으로 나눌 수 있음)를 나타냅니다. 물론 이것은이 결과를 증명하는 "잘못된"방법이지만, 이것이 코니 그 정리의 힘을 잘 보여주고 있다고 생각합니다. 만약 코니 그 정리를 기억한다면 그래프 이론에는 많은 고전적인 결과들이 있습니다. .

— Jukka Suomela

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이 LP는 모든 그래프에 대해 반 적분입니다. 즉, 각 변수가 {0,1 / 2,1}에 있도록 최적의 솔루션이 존재합니다. 그것은 Nemhauser와 Trotter의 정리에서 나온 것입니다. 물론 보체 문제의 LP (정점 커버)에 대해 반-통합 성의 동일한 결론이 이어진다. 그래프가이 분할 때 솔루션은 필수입니다. 그것은 max-flow min-cut 정리 또는이 LP의 극한 점 솔루션을 사용하여 간단히 따릅니다. 또한 1/2 모서리는 홀수주기를 형성합니다.

물론이 LP는 IS 문제를 해결하는 데 적합하지 않습니다. Clique 구속 조건 또는 SDP를 추가하는 것이 훨씬 더 나은 방법입니다.

정점 패킹 : 구조적 속성 및 알고리즘 GL Nemhauser 및 Trotter- Math. 프로그램, 1975

— 모 히트 싱
소스

반 통합 솔루션 을 효율적으로 찾는 매우 간단한 알고리즘에 대해서는 이 논문 의 정리 5.6도 참조하십시오 .

— Jukka Suomela

Clique 제약 조건이있는 LP는 위의 세트에서 약 50 % 더 많은 그래프를 해결했습니다.

— Yaroslav Bulatov

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2003 년 의 Sergiy Butenko의 Ph.D 논문 은 MIS의 다른 LP 이완과 이차 이완을 검토합니다.

— 수레 쉬 벤 카트
소스

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"최대 독립 세트의 이완 된 버전"을 얻는 다른 방법이 있습니다. "각 모서리에 대해 제약 조건으로 사용되는 대신 합계는 최대 1"이고 제약 조건은 "완전한 각 하위 그래프에 대해 모서리가 최대 1"입니다. 즉, 각 모서리, 삼각형, 각 등을 의미합니다. $K_4$

이것을 분수 독립 세트 번호라고합니다. 정보는 http://en.wikipedia.org/wiki/Fractional_coloring 또는 Daniel Ullman과 Edward Scheinerman ( http://www.ams.jhu.edu/~ers)의 "Fractional graph theory"책에 있습니다 . / fgt / ).

실제로,이 공식은 모든 변수가 연속적 임에도 불구하고 계산하기에 NP-Hard입니다.-> 도수의 수는 기하 급수적으로 계산하기는 어렵습니다. 그러나 일부 특수한 도수 만 열거 할 수 있습니다. 모서리 (방금 한 것) 또는 모서리 + 삼각형 또는 까지의 모든 . 결국이 값은 실제 정수 값 (*)의 "보다 대표적인"값만 될 수 있습니다. $K_k$

나단

(*)이 말에 따르면, 당신은 이론적으로 모든 도가 표현되는 LP의 최적 결과와 최적의 독립 세트 사이에 임의로 큰 차이가 있습니다.

— 나단 코헨
소스

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이 접근법의 문제점 중 하나는 이분자가 아닌 3 차 삼각형이없는 그래프 (그리고 그 중 많은 것들이있는 경우)가 있다면, 그 공식은 문제와 정확히 동일하며, 우리는 정확히 동일하다는 것입니다 나쁜 소식. 더 일반적으로, 우리는 항상 모든 노드가 -clique에 있고 -clique 가없는 그래프를 구성 할 수 있으며 모든 대한 가 의 고유 최적 솔루션임을 보여줍니다 LP.

k

$k$

(k + 1)

$(k+1)$

x_{i} = 1 / k

$x_i = 1/k$

i

$i$

— Jukka Suomela

흥미로운,이 현 그래프에 IndependentSet 쉬움과 관련이있을 것으로 보인다

— 야로 슬라브 Bulatov

나는 몇 가지 실험을했으며이 LP 이완의 해법은 항상 화음 그래프에 필수적이었습니다

— Yaroslav Bulatov

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@YaroslavBulatov 관찰 할만한 이유가 있습니다. clique inequalities와 nonnegativity bounds는 그래프가 완벽한 경우에만 독립적 인 세트의 볼록 껍질을 제공합니다. 화음 그래프가 완벽합니다.

— 오스틴 뷰캐넌