삽입 / 삭제가있는 경우 DAG에 대한 연결 정보를 효율적으로 유지 관리하는 알고리즘이 있습니까?

방향성 비순환 그래프 가 주어지면 다음 작업을 효율적으로 지원할 수 있습니까?$G(V,E)$

• :를 결정은의 경로가있는 경우 G 노드로부터노드$isConnected(G,a,b)$$G$$a$$b$
• : 선택된 행 에지에 B 그래프$link(G,a,b)$$a$$b$$G$
• : 에지로부터 제거 을 에 B 의$unlink(G,a,b)$$a$$b$$G$
• : G에 꼭짓점을 추가합니다$add(G,a)$
• : G에서 꼭짓점을 제거합니다$remove(G,a)$

몇 가지 참고 사항 :

• 만약 우리가 허용하지 않는다면 , 분리 세트 타입의 데이터 구조를 사용하여 연결 정보를 유지하는 것이 쉬운 것처럼 보일 것입니다.$unlink$
• 물론, 그래프의 순 포인터 기반의 표현을 사용하여, 깊이 또는 너비 우선 탐색을 사용하여 구현 될 수있다. 그러나 이것은 비효율적입니다.$isConnected$

세 작업 모두에 대해 상각 된 상수 또는 로그 시간을 원합니다. 이게 가능해?

설명한 문제는 완전 동적 DAG 도달 가능성 (DAG에서 완전 동적 전이 폐쇄라고도 함)입니다. 사람들은 삭제 만 가능한 버전 (감소 적 도달 가능성이라고 함)과 삽입 만 가능한 버전 (증분 적 도달 가능성이라고 함)을 연구하기 때문에 완전 동적이라고합니다.

업데이트 시간과 쿼리 시간 사이에는 몇 가지 장단점이 있습니다. 하자 모서리의 수와 수 n은 정점의 수. DAG의 경우 Demetrescu 및 Italiano (FOCS'00)는 O ( n 1.58 ) 시간의 업데이트 (가장자리 삽입 또는 삭제) 및 O ( n 0.58 ) 시간의 도달 가능성 쿼리 (노드 삽입 / 삭제도 지원 )를 지원하는 무작위 데이터 구조를 제공했습니다. O (1) 시간); 이 결과는 Sankowski (FOCS'04)에 의해 일반 방향 그래프로 확장되었습니다. 또한 DAG의 경우 Roditty (SODA'03)는 전이 폐쇄 매트릭스를 총 시간 O ( m n + I · n 2 + D )로 유지할 수 있음을 보여주었습니다 .$m$$n$$n^{1.58}$$n^{0.58}$$mn+I·n^2+D$ 삽입 횟수, D 는 삭제 횟수이며 물론 쿼리 시간은 O ( 1 )입니다.$I$$D$$1$

일반 유향 그래프를 들어, 다음의 (갱신 쿼리) 시간이 공지되어있다 (O ( ), O (1)) (Demetrescu 및 한국어 FOCS'00은 (상각) Sankowski FOCS'04 (최악의 경우)) ( O ( m $n^2$ ),O($m\sqrt{n}$ )) (Roditty, Zwick FOCS'02), (O (m+nlogn), O (n)) (Roditty, Zwick STOC'04), (O (n 1.58 ), O (n 0.58 )) 및Sankoowski (FOCS'04)에 의해(O (n 1.495 ), O (n 1.495 )).$O(\sqrt{n}$$m+n\log n$$n$$n^{1.58}$$n^{0.58}$$n^{1.495}$$n^{1.495}$

업데이트 시간을 너무 많이 늘리지 않고 다항식 쿼리 시간을 얻는 것은 DAG의 경우에도 주요 문제입니다.

지금까지 최고의 결과는 "완전 동적 전이 폐쇄를위한 동적 매트릭스 관리" 에서 논의되고 있다고 생각합니다 . 이 백서에서는 쿼리 시간과 O ( n 1.58 ) 업데이트 시간이 있는 무작위 알고리즘에 대해 설명합니다 .$O(n^{0.58})$$O(n^{1.58})$

(이것은 단지와 함께, 귀하의 질문의 첫 번째 버전을 포함 link하고 unlink있지만없이 add하고 remove.)