P = NP가 P = AP를 의미하지 않는 이유는 무엇입니까 (예 : P = PSPACE)?

이면 다항식 계층 구조가 붕괴되고 것으로 잘 알려져 있습니다.$\mathbf{P}=\mathbf{NP}$$\mathbf{P}=\mathbf{PH}$

이것은 oracle machine을 사용하여 쉽게 유도 할 수 있습니다. 문제는-왜 우리는 지속적인 교대 수준 이상의 유도 과정을 계속하고 (일명 )?$\mathbf{P}=\mathbf{AltTime}(n^{O(1)})$$\mathbf{AP}=\mathbf{PSPACE}$

직관적 인 답변을 찾고 있습니다.

위한 증거 ( )을 이용하여 유도이다 . 유도 방송 임의 천연위한 번호 , \ mathbf {P} = \ mathbf {} AltTime (K) (및 \ mathbf AltTime {} (O (1)) 그들의 조합이다).$\mathbf{P}=\mathbf{AltTime}(O(1))$$=\mathbf{PH}$$\mathbf{P}=\mathbf{NP}$ k P = A l $k$ T i m e ( k ) A l t T i m e ( O ( 1 ) $\mathbf{P}=\mathbf{AltTime}(k)$$\mathbf{AltTime}(O(1))$

입력 횟수에 따라 교체 횟수가 변경 될 수있는 경우 (예 : 기계의 가능한 교체 횟수 가 숫자가 아니라 입력 크기 의 기능인 경우), 즉 기계의 실행을 보여주지 않음 단일 입력에서 교대없이 축소 할 수 있으며, 모든 입력에서 기계의 실행이 교대없이 "균일하게"축소 될 수 있음을 보여줍니다).

비슷하지만 더 간단한 진술을 보자. 우리는 식별 기능 있음을 보여주고 싶은 결국 모든 일정 기능을 지배 ( IFF에 대한 모든하지만 유한 한 많은 ). 귀납법으로 증명할 수 있습니다. 모든 에 (즉 , )이지만 , 과 같이 상수가 아닌 함수에 대해서는 이것을 갖지 않습니다 .i d ( n ) = n f ≪ g n f ( n ) ≤ g ( n ) k k ≪ n f k ≪ i d f k ( n ) = k n 2 n 2 ≪ ̸ $id(n)=n$$f \ll g$$n$ $f(n) \leq g(n)$$k$$k \ll n$$f_k \ll id$$f_k(n)=k$$n^2$$n^2 \not \ll n$

다항식 계층을 대화 형 증명의 계층과 비교합니다. 일부 고정을위한 경우 K , 당신이 K의 IP (- 상호 작용하는 증거에 교대 케이 ) - IP (인 - 결과의 복잡성 클래스는이 교대로 얻을 수있는 것보다 더 많은 전력이 K ) = IP (2 ) = AM ( k ≥2 라고 가정 ). 그러나 다항식 수의 교대를 허용하면 AM보다 훨씬 더 큰 복잡성 클래스 IP = PSPACE를 얻게되며 클래스는 다항식 계층의 두 번째 수준 에서 Π ₂ P에 포함됩니다 . 따라서이 현상은 실제로 발생합니다 (다항식 계층 구조에서는 알 수는 없지만).

이는 IP ( k ) 에서 크기 n 의 문제를 가져 와서 IP (2)에서 문제로 만드는 축소가 문제 크기를 폭파시켜 특정 IP ( k )에 대해 문제가 다항식 크기로 유지 되기 때문에 발생합니다. 당신이 할 경우, k는 다양 결과 감소에 다항식있는 문제를 제공하지 않습니다 케이 .

여기에는 상수와 무제한의 교대 사이의 간격에 관한 약간의 직관이 있습니다. 일정한 횟수로 반복되는 다항식 연산은 다항식이지만 반복되는 다항식 횟수는 지수적일 수 있습니다. 예를 들어, 곱셈 자체를 반복하십시오.

v = 2
for(i=1 to n)
  v = v*v

반복 횟수는 선형이며 출력은 지수입니다. 그러나 n을 수정하면 초기 값의 크기에 대해 다항식입니다.

아래에서 나는 피터의 대답에서 요점을 조금 더 확장하여 그것이 실패한 곳과 그러한 시도에서 무언가를 구할 수 있는지 확인하기 위해 일정한 단계 이상으로 정량화 제거를 수행하려고 시도합니다.

일정한 횟수 이상으로 를 증폭시켜 봅시다 .$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$

라고 가정하십시오 . 따라서 Ext-Circuit-SAT를 해결하는 다항식 타임머신이 있습니다 (주어진 회로에 대한 만족스러운 확장과 입력에 대한 부분 할당이 있습니까?).$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$

보다 공식적으로, 우리는 다항식 실행 시간 st 를 갖는 다 시간 알고리즘 가지고 있습니다$A$$p(n)\in\rm{poly}(n)$

부울 회로 감안할 때 및 부분 할당 입력에, "예"의 확장 반환이있는 경우$\varphi$$\tau$
$A$$\tau$$\varphi$ 를 만족 τ하고 그렇지 않으면 "no"를 반환합니다.

일정한 시간을 넘어서려면 정량화 제거를 효과적으로 수행해야합니다. 쿡 - 레빈 정리 건설적인 이론이기 때문에 우리는 다항식 시간 알고리즘 제공 사실,이 작업을 수행 할 수 있습니다 $Cook$ 일을

DTM을 감안할 때 $M$ 개의 입력들 및 3 개 개의 단항 번호 수신 $n$ , $m$ , 및 $t$ ,
$Cook(M, n, m, t)$ 크기의 부울 회로 반환 $O(t^2)$ 시뮬레이션하는 $M$ 길이의 입력에 t 단계에 대해 $(n,m)$ .$t$

하자가의 인수를 확장하려면 다음을 사용하려고 $\mathsf{P}=\mathsf{PH}$ 알고리즘 해결 TQBF (실제로 TQBCircuit, 즉 완전히 정량화 된 부울 회로 문제)을 얻었다.

다음과 같은 알고리즘의 아이디어는 우리는 반복 사용 $Cook$ 에 소정 수치화 회로로부터의 한정사를 제거 하였다. 수량 자에는 선형 개수가 있으므로 다항식 시간 알고리즘을 얻을 수 있기를 희망합니다 (다항식 시간 서브 루틴 C o o k를 사용하여 다항식으로 많은 단계를 갖는 알고리즘이 있음 ). 이 정량화 제거 프로세스가 끝나면 다항식 시간으로 평가할 수있는 정량화가없는 회로를 갖게됩니다 (회로 값 문제는 P , C V 는 주어진 회로의 회로 값을 계산하기위한 다항식 시간 알고리즘이라고 함) .$A$$Cook$$\mathsf{P}$$CV$

그러나 우리는이 아이디어가 효과가 없다는 것을 알 수 있습니다 (피터가 지적한 것과 같은 이유로).

• $\varphi$ 정량화 된 회로 라하자 (주어진 정량화 된 공식으로 초기화 됨).
• 하자 $k$ 의 한정사의 수 $\varphi$ .

• 옵션 $i$ 에서 $k$ 에 $1$ DO

  • 하자 $\psi$ = $Qx_k \sigma(x_1,...,x_k)$ 마지막 정량하고 정량화없는 일부.

  • 만약 $Q = "\exists"$ ,

    1. 계산 $C = Cook(A, |\sigma|, |x_1|+...+|x_k-1|, p)$ ,
    2. 회로 C 에서 입력 비트를 $\sigma$ 로 대체하십시오 . $C$
    3. φ 에서 $\psi$ 를 $C$ 로 바꿉니다 . $\varphi$

  • 만약 $Q = "\forall"$ ,

    1. $\psi$ 를 $\lnot \exists x_k \lnot \sigma$ 로 간주하십시오 .
    2. 계산 $C = Cook(A, |\lnot \sigma|, |x_1|+...+|x_k-1|, p)$ ,
    3. 회로 C 에서 입력 비트를 $\lnot \sigma$ 로 대체하십시오 . $C$
    4. 교체 $\psi$ 와 $\lnot C$ 에서 $\varphi$ .
• 계산 및 반환 $CV(\varphi)$ .

결과 알고리즘 은 다항식 시간으로 보입니다 . 다항식 많은 단계가 있으며 각 단계는 다항식 시간 계산 가능합니다. 그러나 이것은 정확하지 않으며 알고리즘은 다항식 시간이 아닙니다.

다항식 시간 알고리즘에서 다항식 시간 서브 루틴을 사용하는 것은 다항식 시간입니다. 문제는 일반적으로 서브 루틴이 리턴 한 값이 원래 입력에서 다항식 크기가 아니고 서브 루틴에서 리턴 된 값에 대해 지정한다고 가정 할 때 이것이 사실 일 필요는 없다는 것입니다. 합니다 (TM 모델에서는 비트에 의한 다항식 시간 루틴 비트의 출력을 판독한다.) 알고리즘으로부터의 복귀 값을 다음 크기 $Cook$ IS 그 주어진 입력의 크기의 거듭 제곱 (늘리면 , 정확한 전력은 $A$ 의 실행 시간에 달려 있으며 약 $p^2(|input|)$따라서 $A$ 는 선형 시간보다 작을 수 없다는 것을 알기 때문에 $|output|$적어도 $|input|^2$ ).

이 문제는 아래의 간단한 코드와 비슷합니다.

• 을 감안할 때 $x$ ,
• 하자 $n = |x|$,
• 하자 $y = x$ ,
• 대한 $i$ 에서 $1$ 에 $n$ 할
  • 하자 $y = y^{|y|}$(의 즉 연결 $|y|$ 사본 $y$ )
• y를 반환

우리가 실행할 때마다 $y = y^{|y|}$우리는 $y$ 의 크기를 제곱합니다 . $n$ 실행 후 우리는 $y$ 가 $x^{2^n}$ 이고 크기가 $n2^n$ 이며, 입력 크기의 다항식은 아닙니다.

$k(n)$ 수량 자 교대 (여기서 $n$ 은 정량화 된 공식의 총 크기 임)를 사용하여 정량화 된 공식 만 고려한다고 가정 해 봅시다 .

한다고 가정 $A$ 시간에서 실행 $p$ (원경 배제되지 예 선형 시간), 어쩌면 더 효율적이 $Cook$ 크기가 작은 회로 출력을 알고리즘 $l(t)$ 대신에 $t^2$ , 우리 얻을을 시간에 실행되는 ExtCircuitSat 알고리즘 $(l\circ p)^{O(k)}(n)=\underbrace{l(p(l(p(\dots(l(p(n)))))))}_{O(k)\mbox{ compositions}}$ . 심지어 양하는 경우$l$및$p$선형이었다 (다만, 전체 계수≥2) 우리는 시간으로 운영되는 알고리즘에 넣기Ω을(N2K(N))및 경우K(N)=Θ(N)을 것이다Ω(N2N)$a\geq 2$$\Omega(n2^{k(n)})$$k(n) = \Theta(n)$$\Omega(n2^n)$ brute-force 알고리즘과 유사합니다 (그리고 심지어 Cook-Levin이 알고리즘 실행 시간에 선형 크기의 회로를 생성하는 알고리즘에서 수행 될 수 있다고 가정했을 때).

필자는 이것이 PH의 각 레벨에서 교대 횟수가 일정하기 때문에 (즉, 입력 크기와 무관) AP에서 교대 횟수는 제한이 없기 때문에 (입력 크기의 다항식) 때문이라고 생각합니다.