P = PH를 넘어서 P = NP를 증폭시킬 수 있습니까?

에서 서술 복잡성 , Immerman가있다

추론 7.23. 다음 조건은 동일합니다.
1. P = NP.
2. 유한하고 규칙적인 구조에서 FO (LFP) = SO.

이것은 더 큰 복잡성 클래스에 대한 동등한 진술에 대해 "증폭"P = NP로 생각할 수 있습니다. SO는 다항식 시간 계층 PH를 캡처하고 FO (LFP)는 P를 캡처하므로 P = NP iff P = PH로 생각할 수 있습니다.

(이것의 흥미로운 부분은 P = NP가 P = PH를 암시한다는 진술이다. P = CC가 NP를 포함하는 모든 클래스 CC에 대해 P = NP를 암시하는 것은 사소한 일이다. Immerman은 단순히 "만약 P = NP이면 PH = NP" 아마도 P = NP가 PH의 오라클 정의와 함께 사용되어 전체 계층 구조가 무너짐을 유도 할 수 있기 때문일 것입니다.)

내 질문은 :

이런 식으로 P = NP를 얼마나 더 증폭시킬 수 있습니까?

특히, P = NP가 P = CC '를 의미하는 가장 큰 알려진 클래스 CC'및 P = NP가 CC = NP를 의미하는 가장 작은 클래스 CC는 무엇입니까? 이것은 P = NP가 동등한 질문 CC = CC '로 대체 될 수있게한다. P는 다소 강력한 클래스로 보입니다. NP와 분리하려는 주장에 대해서는 "흔들기 방"이 거의없는 것 같습니다. 흔들기 방이 얼마나 멀리 증폭 될 수 있습니까?

물론 P = PH가이 접근법의 한계라는 것을 보여주는 주장에도 관심이 있습니다.

편집 : 밀접한 관련 질문 참고 P = NP가 P = AP를 의미하지 않는 이유는 무엇입니까 (예 : P = PSPACE)? 이것은 다른 방향에 초점을 맞추고 왜 P = PSPACE라는 증거가 없는지에 대한 것입니다. Kaveh와 Peter Shor의 답변에 따르면 수정 횟수가 중요합니다. 또 다른 관련 질문은 PH에있는 것으로 알려지지 않았지만 후보 문제를 요구하는 P = NP 인 경우 P에있을 의사 결정 문제입니다 . 거기에 대한 답변은이 질문에 대한 답변을 구성하는 데에도 사용될 수 있지만, 이러한 클래스는 다소 인공적이지만 (이를 지적한 이토 츠요시 덕분입니다) 보다 일반적인 설정에서 exptime 및 교대 경계 튜링 기계의 축소 다항식 시간 계층 구조에서와 같이 대체 계층 구조의 모든 수준에서 로컬 축소가 위쪽으로 축소되는지 여부를 묻습니다.

— 안드라 살 라몬
소스

관련 (shameless self-promotion) : PH에 알려지지 않았지만 P = NP 인 경우 P에있는 결정 문제점 .

— 이토 쓰요시

P = NP 인 경우 P에있는 언어를 공식화하는 방법으로 Regan은 복잡성 클래스 H를 도입했습니다 .L이 모든 오라클 대해 P 에 있고 L 인 경우에만 언어 은 H 입니다 .P = NP . 따라서, P = NP P가 관련성을 나타내면 은 H에있다 . PH H 대체 시간 . Toda의 정리와 Toda 정리의 일부 정리에서, 모든 대해 H P 도 사실입니다 . (기본적으로 P를 만족하는 모든 오라클

L

$L$

^{O}

$^O$

O

$O$

^{O}

$^O$

^{O}

$^O$

L

$L$

⟹ L \in

$\implies L \in$

\subseteq

$\subseteq$

\subseteq

$\subseteq$

(O (\log \log n), p o l y)

$(O(\log \log n), \rm{poly})$

\subseteq

$\subseteq$

^{{m o d}_{q} P}

$^{\rm{mod}_q \rm{P}}$

q

$q$

^{O}

$^O$ = NP 는 H에 새로운 상한선을 제공합니다. H = PH인지 여부는 공개됩니다.

^{O}

$^O$

— Russell Impagliazzo

@Russell : 감사합니다! 그 의견은 대답처럼 들립니다.

— András Salamon

마지막으로 Ken Regan의 클래스 대한 참조를 찾았 습니다. citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.32.8927 에서 사용할 수있는 "복합성 클래스의 인덱스 세트 및 프리젠 테이션"정의 6.3을 참조하십시오 . 공식 버전 : dx.doi.org/10.1016/0304-3975(95)00146-8

H

$H$

— Joshua Grochow

f (n)을 무제한 함수로 둡니다. H는 Alternations-Time (f (n), poly)에 포함되어 있지 않으며 P = NP가 P = Alternations-Time (f (n), poly)을 의미 할 수 있으면 NP가 L과 다름을

— 증명할 수 있습니다

답변:

Russell Impagliazzo의 의견 :

에있는 어떤 언어를 공식화하는 방법으로 경우 , 레이건은 복잡성 클래스 도입 . 언어 에 경우에만, 이다 모든 오라클에 대하여 되도록 . 따라서, 문이 갖는 경우 은 있습니다. $\mathsf{P}$ $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$ $\mathsf{H}$ $L$ $\mathsf{H}$ $L$ $\mathsf{P}^O$ $O$ $\mathsf{P}^O=\mathsf{NP}^O$ $L$ $\mathsf{H}$ $\mathsf{P}=\mathsf{NP} \implies L\in\mathsf{P}$ $\mathsf{PH} \subseteq \mathsf{H} \subseteq \mathsf{AltTime}(O(\lg\lg n),\mathsf{poly})$ . 토다 정리와 토다 정리의 일부 정리에서, 는 모든 입니다. 기본적으로 만족하는 모든 오라클 은 에 새로운 상한을 제공합니다 . 여부는 열려 있습니다. $\mathsf{H} \subseteq \mathsf{P}^{\mathsf{mod}_q \mathsf{P}}$ $q$ $\mathsf{P}^O=\mathsf{NP}^O$ $\mathsf{H}$ $\mathsf{H}=\mathsf{PH}$

랜스 포트 노우의 의견에서 :

하자 임의의 함수일 수 바운드. 포함되지 및 증명할 수 있다면 의미 다음 는 과 다릅니다 . $f(n)$ $\mathsf{H}$ $\mathsf{AltTime}(f(n),\mathsf{poly})$ $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$ $\mathsf{P}=\mathsf{AltTime}(f(n),\mathsf{poly})$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{L}$

의 정의는 에 정의 6.3 참조 $\mathsf{H}$

Kenneth W. Regan, " 복잡성 클래스 색인 세트 및 프리젠 테이션 ", 1999

— Kaveh
소스

@ 조쉬, 랜스의 의견에 관해서는, 나는 이 무제한이고 AltTime (f, poly)에 Russel의 의견에 따라 H가 포함되어 있기 때문에 뭔가 빠졌다고 생각합니다.

f (n) = \lg \lg n

$f(n) = \lg \lg n$

— Kaveh

뭔가 혼란 스러워요. 이 주제에 대한 이전 질문에 대한 Josh Grochow의 답변 ( cstheory.stackexchange.com/a/2039/1575 )이 본질적으로 Regan의 질문에도 대답 하지 않는 이유는 무엇 입니까? 즉, 왜 상대성 논증에 의해 P = NP 인 경우 P에 있고 P! = NP 인 경우 PH에는없는 언어 L의 예를 제공하지 않습니까? 그렇다면 왜 P! = NP라면 H가 PH보다 엄밀히 더 크다는 것을 알 수 없는가?

— Scott Aaronson

실제로, 가능한 대답이 나에게 일어난다. Grochow의 구성에서 언어 L의 정의가 오라클 O에 의존한다는 문제입니까?

— Scott Aaronson

@ 스콧 : 실제로, 대각선에 사용되는 문자열 (그리고 실제로 L에 넣었는지 아닌지)이 오라클에 달려 있기 때문에 가능한 대답은 정확합니다. 구체적으로는, 만약 , 언어 유한이기 때문에, 다른 상이한 용 단지 유한 한 다르다. 그러나 우리가 고려하는 경우 같은 그 , 다음 이 다른에 대한 신탁의 집합의 조밀 한 부분 집합이기 때문에도, P-동등 할 수없는 .

P^{O} = N P^{O}

$P^O = NP^O$

L

$L$

L

$L$

O

$O$

O

$O$

P^{O} \neq N P^{O}

$P^O \neq NP^O$

L

$L$

O

$O$

2^{Σ^{*}}

$2^{\Sigma^*}$

— Joshua Grochow

다른 질문에 대한 답변 에서 썼 듯이 SAT에 대한 다항식 시간 알고리즘이 있다고 가정하고 를 해결하는 알고리즘을 제공하여 대체 횟수에서 인수를 건설적이고 균일하게 만들어 봅시다. 는 일정하지 않습니다. $\Sigma^P_k$ $k$

두 개의 입력 와 가진 DTM으로 하자 . 이것을 문제 의 검증 자로 생각하십시오 . $M$ $x$ $y$ $\mathsf{NP}$

하자 TM의 변환 알고리즘 수 크기의 회로 계산하여 크기의 입력에 단계는 입니다 . $Cook(M, \vec{n}, t)$ $M$ $s(\vec{n},t) \in \mathsf{poly}$ $M$ $\vec{n}$ $t$

이고 시간에 Circuit-SAT 인증서 확장 문제를 해결 하는 결정적 알고리즘 가 있다고 가정하십시오 . $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$ $A$ $p\in\mathsf{poly}$

이러한 성분을 사용하여 정량화 된 부울 공식이 제공된 TQBF에 대한 알고리즘을 정의하고, 가장 안쪽의 정량자를 재귀 적으로 제거하고이를 정량자가없는 것으로 대체합니다. 하자 상기 화학식 1의 크기 단계 번째, 우리는이 . 수식에 수량자가 있으면 끝납니다. 여기서 은 입력으로 제공된 TQBF 수식의 크기입니다. $s_i$ $i$ $s_{i+1} = s\circ p(s_i)$ $k$ $q(n) = (s \circ p)^k(n)$ $n$

경우 다음 일정한 . 회로 값은 있으므로 다항식 시간 알고리즘이 있습니다. $k$ $q(n) \in \mathsf{poly}$ $\mathsf{P}$

경우 다음 더 이상 시간 다항식 아니며, 우리가있는 알고리즘 얻을 . 예를 들어 이면 준다 항 시간 알고리즘을 얻습니다. 들어 우리는 사소 아무것도하지 않습니다. $k \in \omega(1)$ $q(n)$ $n^{2^{O(k)}}$ $k = \lg \lg n$ $k = \lg n$

우리가 실제로 관심을 가지는 것은 와 같은 가장 큰 클래스 라고 생각합니다. 여기서 는 우리의 모든 현재를 공식화하기에 충분히 강력한 이론입니다 결과 의 주요 요점은 보다 쉽게 증명할 수 있도록하기위한 것이므로 결과 (예 : )를 취할 수 있습니다 . $C$

T ⊢ P = N P \to P = C

$T \vdash \mathsf{P} = \mathsf{NP} \to \mathsf{P}=C$

T

$T$

Z F C

$\mathsf{ZFC}$

P \neq N P

$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

약한 이론을 취하면 결과는 여전히 흥미로울 수 있지만 실제로는 최대 값의 상한이 아닙니다 . Regan이 상대 를 사용하여 를 정의 할 때, 본질적으로 인수를 상대 하는 것에 제한합니다. 우리는 우리가보다 더 큰 클래스를 얻을 수 있습니다 상대화하지 않는 결과를 사용하는 경우 같아야 것 경우 . $C$ $\mathsf{H}$ $\mathsf{H}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$

좀 더 철학적 인 메모로서, 나는 대체 현실이나 세계로서의 상대화에 대해 생각한다는 생각을 개인적으로 싫어한다. "상대화 된 세계"의 진술 자체는 우리에게 비 상대적 환경에서의 진술에 대한 정보를 제공하지 않습니다. 예를 들어 를 사용하십시오. 대부분의 사람들은 사실이라고 믿지 않지만 상대화 된 버전은 사실 입니다. 확률이 1 인 임의의 오라클 입니다. 이것은 사실이지만 확률이 1 인 임의의 오라클에서는 거짓이됩니다. $\mathsf{BPP} = \mathsf{PP}$ $\mathsf{IP} = \mathsf{PSpace}$

또한 복잡성 클래스 문제를 재 연관하는 단 하나의 올바른 방법이 하나뿐이라는 잘못된 아이디어를 발견했습니다 (확장 적 의미에서 복잡성 클래스에 대한 기능적 연산으로서 생각 재배 화를 생각하는 것과 같이, 관계 화는 계산 모델의 수정입니다) 함수 또는 언어 클래스가 아님). 재배 화를 수정 된 (대화식) 계산 프레임 워크로 보는 것이 더 유용하다고 생각합니다. 이런 식으로 복잡성 클래스를 의도적으로 의미를 재 상관시키는 유용한 방법이 많이 있습니다. 관련성이없는 프레임 워크 에서 관련 되지 않은 설정에 대한 정보를 얻으려면 비표준 분석 의 전송 원칙 과 유사한 일종의 전송 원칙이 필요 합니다.. 클래스 간의 알려진 관계를 유지하는 클래스에 대해 특정 상대성 상대화 방법을 선택한다고해서 이전 원칙이 제공되지는 않습니다 (이것은 문학에서 클래스의 "상대적 상대성 화가 무엇인지 결정하기 위해 일반적으로 문헌에서 사용되는 주요 기준입니다).

— 카베
소스

나는 "상호 작용 적 계산 프레임 워크를 대화 형 계산 프레임 워크로 보는 것이 제 의견으로는 더 유용하다"고 동의합니다. 즉, 대화 형 오라클 액세스가있는 머신이 먼저 제공되고 상대방이 오라클의 언어를 선택할 수있는 상황부터 시작하여 상대성 표현을보다 직관적으로 이해할 수 있습니다. 그런 다음 (복잡한) oracle 언어가 먼저 제공되는 상황으로 전환하고 이제 특정 oracle이 제공하는 세상에 머신을 적용 할 수 있습니다.

— Thomas Klimpel