낮은 치수의 유클리드 제곱 최대 컷

하자 면의 일 점 . 정점으로 그리고 에지 가중치 포인트와 전체 그래프를 고려 . 항상 최소한 의 체중 감량을 찾을 수 있습니까 $x_1, \ldots, x_n$ $\mathbb{R}^2$ $\|x_i - x_j\|^2$ 총 무게의 ? 그렇지 않은 경우대체해야하는 상수 $\frac 2 3$ ? $\frac 2 3$

내가 찾을 수있어 최악의 예는 달성 정삼각형, 3 점입니다 . 임의 분할은을 생성합니다. $\frac 2 3$ , 그러나 낮은 차원에서는 무작위보다 더 나은 군집을 가질 수 있다는 것이 직관적으로 명백해 보입니다. $\frac 1 2$

k> 2의 max-k-cut은 어떻게됩니까? 치수 d> 2는 어떻습니까? 그러한 질문에 답할 수있는 틀이 있습니까? 나는 Cheeger의 불평등에 대해 알고 있지만, 가장 희박한 컷 (최대 컷이 아님)에 적용되며 일반 그래프에서만 작동합니다.

(질문은 분산을 최소화하기 위해 컴퓨터 그래픽에서 광원을 클러스터링하는 문제에서 영감을 얻었습니다).

— 밀로스 하산
소스

Max k-Cut의 경우 1-2 / k 근사치가 있으며 k> 2의 경우 큰 컷을 찾을 수 있지만 k = 2의 경우 www-math.mit.edu/~goemans/PAPERS/maxcut을 볼 수 있습니다 . -jacm.pdf 및 관련 주제, 가능성이 높은 컷을 발견하면 2/3 컷이 있는지 여부를 알 수 있습니다. 적어도 가능한 범위는 제한적입니다.

— Saeed

그러나 여기서 가중치 함수는 SQUARED 유클리드 거리이며 이는 메트릭이 아닙니다.

— Suresh Venkat

max cut에 ptas 또는 아마도이 시간에 대한 polytime 알고리즘이 있다고 생각하지만 구체적인 질문은 매우 흥미 롭습니다. 정점이 사이클을 따라 동일 간격으로 배치 될 때 최대 절단이 무엇이며, 최대 절단을 최소화하는이 클래스의 예가 3 개의 동일 간격 정점이라는 것이 분명합니까? 총 중량 대 최대 중량의 비율을 증가시키지 않고 모든 지점 구성을 '대칭'구성으로 변환 할 수 있다는 논증이있을 수 있으므로 매우 대칭적인 구성 만 이해하면 충분합니다.

— Luca Trevisan

또한 한 차원에서 어떤 일이 발생합니까? 최대 절단이 총 중량의 약 2/3 인 구성을 찾을 수 있습니다 (1 점은 -1, 1 점은 +1, 4 점은 0에 매우 근접 함, 총 중량은 12이며 최적 임) 8)입니다. 2/3는 1 차원에서 최대 중량 대 총 중량의 가능한 가장 작은 비율입니까?

— Luca Trevisan

@Luca : 그렇습니다. 1D도 사소한 것이 아닙니다. 직관적으로, 치수가 증가함에 따라 상수는 1/2에 가까워 져야합니다. 2D 사례의 경우 무게 중심이 (0,0)이고 모든 점이 단위 원 안에 들어 있다고 가정 할 수 있습니다. 컷 웨이트를 늘리지 않으면 서 포인트를 단위 원쪽으로 밀는 몇 가지 "포인트 반발"주장이있을 수 있습니다.

— Milos Hasan

답변:

${d+1 \choose 2}$ $(d+1)^2/4$ $\frac 12 \cdot \frac {d+1}{d}$

— 루카 트레비 산
소스

그러나 왜 거리 1에서 d + 1 포인트의 구성이 최악의 경우를 구성합니까? 이것은 그럴듯 해 보이지만 명백합니까? (그리고 d = 1의 경우, 서로 거리가 1 인 두 지점은 분명히 최악의 경우가 아닙니다. 위에서 지정한 6 점 구성이 더 나쁩니다. d = 1이 유일한 병리학 적 사례 일 수 있습니다. for d> = 2?)

— Milos Hasan

@milos 잘 모르겠습니다. 우리는 0.5가 달성 가능하다는 것을 알고 있으며,이 예는 더 잘할 수 없다는 것을 보여줍니다. 그러나 비행기의 2/3 추측을 깨뜨리지는 않습니다.

— Suresh Venkat

@Suresh : 내가 실제로 얻은 것은 낮은 차원에서 더 잘 할 수 있음을 증명하는 것입니다 . 즉, 특정 낮은 d에 대한 최악의 상수의 실제 값 시퀀스에 관심이 있습니다.

— Milos Hasan

나는 실제로 낮은 d에 대해 1/2과 2/3 사이의 실제 간격을 증명하고 싶었습니다. 이것은 문제가 본질적으로 저차 원적이라면 (임의의 문제를 무작위가 아닌 하위 문제로 스마트하게 나눔으로써) Monte Carlo 합산 / 통합을 이길 수 있다는 흥미로운 결과를 가져올 것입니다.

— Milos Hasan

이것은 큰 d에 대한 해답 일 뿐이지 만, small-d 사례 분석에서 어떤 어려움이 생길 수 있는지 보여줍니다. 2 차원에서, 페어 단위 거리 제곱이 모두 1과 1.1 사이 인 5 개의 점을 가질 수 있다고 가정하십시오. 그런 다음 총 중량은 10 이상이고 최대 컷은 최대 6.6입니다. 2/3가 2 차원에 대한 정답 인 경우, 모든 쌍별 유클리드 거리가 1 이상이되도록 5 개의 점이있는 경우 쌍별 유클리드 거리 중 하나가 적어도 임을 표시 할 수 있어야합니다.

\sqrt{1.1}

$\sqrt {1.1}$

정삼각형에서 3 점 A, B, C를 취하고 중심에 3 점 D, E, F를 더 추가합니다. 컷의 한쪽에 A, B, C 중 두 개를 원한다는 것이 분명하므로이 세 점의 컷이 (AB; C)라고 가정 해 봅시다. 이제 각 점 D, E, F는 절단의 C면을 따라야하므로 최적의 절단은 (AB; CDEF)이며 비율은 2/3로 쉽게 확인됩니다.

이제 각 점 D, E, F를 가운데에서 약간 멀리 이동시켜 작은 정삼각형을 만듭니다. 중심을 중심으로 대칭 적이라면 어떤 방향으로도 중요하지 않습니다. 거리를 충분히 작게 이동해도 최적의 절단은 여전히 (AB; CDEF) 여야합니다. 이 컷의 길이를 고려하십시오. 모서리 (AC, BC)는 모서리 전체 길이 (AB, BC, AC)의 2/3를 형성합니다. 대칭으로 가장자리의 총 길이 (AD, AE, AF, BD, BE, BF)는 가장자리 길이의 2/3 (AD, AE, AF, BD, BE, BF, CD, CE, CF)입니다. ). 그러나 아무도 가장자리 (DE, EF, DF)의는 컷 없습니다. 따라서이 컷의 비율은 엄격하게 2/3 미만입니다.

$(\sqrt{6}-1)/5 \approx .2899$ $.6408$ $2/3$

— 피터 쇼어
소스

1 - O (k^{- α})

$1 - O(k^{-\alpha})$

k

$k$

α > 1

$\alpha > 1$

내 생각에 정답은 .64보다 너무 낮지 않지만 하한을 표시하는 방법을 모릅니다.

— 피터 쇼어