최소 플립 연결 문제

내 GPS를 가지고 놀면서 오늘 다음과 같은 문제를 공식화했습니다. 여기있어 :

하자 방향성 그래프와 같은 것일 경우, 다음 즉, 기본 무향 그래프의 방향이다. 다음 작업을 고려하십시오.e = ( u , v ) ∈ E ( v , u ) ∉ E $G(V,E)$$e=(u,v) \in E$$(v,u) \notin E$$G$

• ( u , v ) ( v , u $Flip(u,v)$ : 모서리 를 모서리 바꿉니다.$(u,v)$$(v,u)$
• ( u , v $undirect(u,v)$ : 가장자리 무 방향으로 만듭니다.$(u,v)$

를 두 개의 특수 꼭짓점으로 하자 . 다음 최적화 문제를 고려하십시오.$s,t \in V$

• 최소 플립 세인트 연결 : 감안할 때 와 두 정점 에서 직접 경로를 만들기 위해 이성을 상실 할 필요가 가장자리의 최소 번호를 찾을 수 에게 .$G$S $s,t$$s$$t$
• Min-Flip 강한 연결성 : 주어진 는 강력하게 연결 하기 위해 뒤집어 야 할 최소 모서리 수를 찾습니다 . 모서리를 뒤집어서 강력하게 연결할 수 없으면 NO를 출력하십시오.G $G$$G$$G$
• 최소-직접적인 강한 연결성 : 주어진 는 강력하게 연결 하기 위해 방향을 바꿀 필요가없는 최소 모서리 수를 찾습니다 .$G$$G$

"새"모서리를 추가 할 수 없습니다. 위 작업을 통해서만 기존 모서리를 수정하고 있습니다. 이 문제는 문헌에 알려져 있습니까? 그렇다면 알려진 결과는 무엇입니까?

요약 : 최소 비용으로 강하게 연결된 방향을 찾아 다항식 시간으로 문제를 해결할 수 있습니다.

더 자세하게 설명 : Robbins 정리 는 방향이없는 그래프의 가장자리가 방향을 지정할 수 있으므로 방향이없는 그래프가 2- 에지 연결되어있는 경우에만 결과 방향 그래프가 강하게 연결됩니다. 여러 가지 확장이 있으며 그 중 하나는 다항식 시간 하위 모듈 식 흐름 알고리즘을 사용하여 다항식 시간에서 다음과 같은 문제를 해결할 수 있다고 말합니다. (두 방향 모두에 대해) 가장자리 비용이있는 방향이없는 그래프가 주어지면 최소 비용 방향을 찾으십시오. 그래프는 강하게 연결되어 있습니다. 예를 들어 Frank의 논문을 참조하십시오 . 이와타와 코바야시 가 최신 알고리즘을 제공한다 .

이 결과는 제기 된 문제를 해결하는 데 유용해야합니다. 첫 번째 문제는 Tomek이 제안한 방법 으로 해결할 수 있습니다 . 그래서 우리는 다른 문제들에 집중할 것입니다.

두 번째 문제에서는 Tomek과 동일한 에지 가중치 그래프 구성을 사용하고 다항식 시간에서 최소 비용으로 강하게 연결된 방향을 찾습니다.

세 번째 문제는 각 모서리에 대해 양방향을 허용하기 위해 각 모서리를 복제 한 다음 동일한 구성과 동일한 알고리즘을 적용하는 것입니다. 복제 된 모서리에 대해 같은 방향을 사용하더라도 강한 연결에 영향을 미치지 않기 때문에 이것은 유효한 축소입니다.

이것은 첫 번째 문제에 대한 답입니다.
새로운 가중치 그래프 고려하십시오. 여기서 ( 에있는 모든 모서리의 가중치 는 0이고 '역순'모서리의 가중치는 1입니다.) 이제 에서 까지 가장 짧은 경로를 찾아야합니다 .E ' = { ( u , v , 0 ) | ( u , v ) ∈ E } ∪ { ( v , u , 1 ) | ( U , V ) ∈ E } G S $G'=(V,E')$$E'=\{(u,v,0)|(u,v) \in E\} \cup \{(v,u,1)|(u,v)\in E \}$$G$$s$$t$

결정 문제를 "최대 반전이 필요한 st 경로가 있습니까?"라고 말하면 Min-Flip st 연결은 NL 완료 입니다. 그것의 특별한 경우로 성 연결이 포함되어 있기 때문에 NL-어렵다 , 그리고 당신의 경로를 추측 할 수 있기 때문에 NL에서의 에 에 카운터를 유지, 약간의 이성을 상실 가장자리를 사용하여 한 번에 그것을 하나의 가장자리를 통과하는 개 이하의 모서리가 뒤로 이동 하지 않도록합니다 .k = 0 s t $k$$k=0$$s$$t$$k$

저의 최근 저서 인 Connections in Combinatorial Optimization (Oxford University Press, 2011)에서 중심 주제는 위에서 설명한 변형을 포함하여 그래프 방향 문제입니다. 2k- 가장자리 연결 그래프는 k- 가장자리 연결 방향을 갖는 것으로 알려져 있습니다 (이것은 내쉬-윌리엄의 정리입니다). 그래프가 2k- 에지 연결되지 않은 경우, 주어진 서브 세트 F의 에지가 좋은지 (F는 방향을 가져서 결과 혼합 그래프가 k- 에지 연결됨) 의미를 결정하는 데 관심이있을 수 있습니다. 이 책에서 나는이 문제가 어떻게 다항식 시간에 해결 될 수 있는지 설명했다. 그러나 최소 카디널리티 좋은 세트를 찾는 방법을 모르겠습니다.

안드라스 프랭크

Min-Flip st-connectivity Base : s (T)에서 도달 할 수있는 모든 정점을 계산합니다. t가 T 정지 인 경우. 귀납적 : 한 번의 플립으로 T에 인접하지 않은 T에 있지 않은 모든 정점을 고려하고 이것을 U라고 부릅니다. U를이 점에서 도달 할 수있는 정점을 계산하십시오.

Min-Flip 강한 연결성 다음과 같은 문제가 발생하므로 간접적이어야합니다. A-> B