사각형을 볼록 다각형으로 포장하지만 회전하지는 않음

23

나는 (2 차원) 사각형의 동일한 사본을 겹치지 않고 볼록한 (2 차원) 다각형으로 포장하는 문제에 관심이 있습니다. 내 문제에서 사각형을 회전시킬 수 없으며 축과 평행하게 있다고 가정 할 수 있습니다. 직사각형의 치수와 다각형의 꼭짓점이 주어졌으며 다각형에 동일한 직사각형 사본을 몇 개나 포장 할 수 있는지 물었습니다. 사각형을 회전시킬 수 있다면이 문제는 NP-hard라고 알려져 있습니다. 그러나 당신이 할 수 없다면 무엇을 알고 있습니까? 볼록 다각형이 단순히 삼각형이라면 어떨까요? 문제가 실제로 NP-hard 인 경우 알려진 근사 알고리즘이 있습니까?

지금까지 요약 ('11 년 3 월 21 일). Peter Shor는이 문제를 볼록 다각형의 포장 단위 사각형 중 하나로 간주 할 수 있으며 포장 할 사각형 / 직사각 수에 다항식 경계를 적용하면 NP에 문제가있는 것으로 관찰합니다. Sariel Har-Peled는 동일한 폴리 노미 바운드 케이스에 대한 PTAS가 있다고 지적했다. 그러나, 일반적으로 패킹 된 제곱의 수는 입력의 크기에있어서 지수적일 수 있으며, 이는 아마도 가능한 한 쌍의 정수 쌍으로 만 구성 될 수 있습니다. 다음 질문이 공개 된 것 같습니다.

NP에 정식 버전이 있습니까? 무제한 버전에 대한 PTAS가 있습니까? P 또는 NPC에서 다항식으로 묶인 경우입니까? 그리고 개인적으로 가장 좋아하는 점은 단위 사각형을 삼각형으로 포장하는 것으로 제한하면 문제가 더 쉬워 집니까?

— 라파엘
소스

1x3 직사각형으로 포장하면 NP가 완벽합니다 (회전 포함). 회전을 허용하지 않으면 쉽게 될 것 같습니다. 각 행 (또는 열)에 대한 최대 사각형 수를 찾아서 추가하여 전체 최대 패킹 된 사각형 수를 얻습니다.

— Mohammad Al-Turkistany

크기를 1x3 (또는 다른 것)으로 고정하면 내 문제에 너무 많은 도움이됩니다. 볼록 다각형에는 반드시 축과 평행 한면이 없어도되며 사각형을 어디에 둘 것인지 결정해야합니다. 먼저 y 축에서 가장 낮게 배치 한 다음 합리적인 휴리스틱으로 왼쪽으로 정렬 할 수 있지만 이것이 최적이 아닌 경우 예제를 상당히 쉽게 구성 할 수 있습니다.

— Raphael

9

아핀 변환을 적용하여 모든 사각형을

로 만들 수 있습니다 . 따라서 문제는 포장 사각형의 문제와 같습니다.

1 \times 1

$1 \times 1$

— 피터 쇼어

1

@ turkistany : 1x3 직사각형의 NP 완성도를 보여주는 참조를 해 주시겠습니까? 아니면 쉽게 관찰 할 수 있습니까?

— 오카모토 요시오

3

Peter Shor의 관찰을 바탕으로 검색하면 흥미로운 maven.smith.edu/~orourke/TOPP/P56.html 이 나타납니다. 그러나 일반적인 간단한 다각형에 초점을 둔 것으로 보입니다 (즉, 오목 할 수 있음).

— Raphael

12

문제는 (언더 이들의 각 한 쌍의 거리가되도록, 볼록 다각형의 내부 지점의 최대 번호 따기 같이 공식화 될 수 적어도 측정) 이 서로로부터 (단지 사각형의 중심 생각) . 이것은 일정한 유클리드 거리를 사용하는 것과 같은 문제와 관련이 있습니다. 이것은 다각형을 잘 동작하는 영역으로 나누는 데 관심이있는 메시와 관련이 있습니다 (즉, 중심의 보로 노이 다이어그램 [중심 보로 노이 테셀레이션 참조] 참조). $L_\infty$ $1$

어쨌든 근사값은 매우 쉽습니다. 측면 길이 의 그리드를 무작위로 움직 입니다. 다각형을 격자에 자르고 무차별 대입을 사용하여 다각형과 격자의 각 교차 부분 내부의 문제를 해결하십시오. 실행 시간이 인 알고리즘 은 쉽게 따라야합니다. 여기서 은 포인트 수 (예 : 사각형)이고 $(1-\epsilon)$ $O(1/\epsilon)$ $O(M*noise(\epsilon))$ $M$ $noise(\epsilon)$ 단지에 따라 약간의 끔찍한 기능입니다 . $\epsilon$

— 사리 엘 하 필링
소스

감사. 사각형 / 사각형의 수에 다항식이있는 경우에도 문제가 P에 있는지 여전히 명확하지 않다고 생각하고 있습니까?

— Raphael

1

여기 내 추측 / 추측의 2 센트가 있습니다 ... P에 있다면 놀랍습니다-최적 솔루션의 일부 추가 속성을 표시해야합니다. 그러나 내 생각에는 NP 경도의 공식적인 증거가 도달 할 수 없다는 것입니다. 문제는 너무 많은 구조를 가지고 있습니다. Feder and Greene은 k- 센터 클러스터링이 특정 요소 내에서 근사하기에는 NP-hard라는 것을 보여주었습니다. 폴리곤에 구멍이있는 경우 위의 문제가 NP-Hard임을 증명하기 위해 그들의 증거를 사용할 수 있다고 생각합니다.

— Sariel Har-Peled

2

이 두 문서는 문제를 해결합니다.

EG Birgin 및 RD Lobato, " 등방성 볼록 영역 내에서 동일한 직사각형의 직교 패킹 ", 컴퓨터 및 산업 공학 59, pp. 595-602, 2010.

EG Birgin, JM Martínez, FH Nishihara 및 DP Ronconi, " 비선형 최적화를 통해 임의의 볼록한 영역 내에 직사각형 항목을 직교 패킹 ", Computers & Operations Research 33, pp. 3535-3548, 2006.

— 마커스 리트
소스

이 백서는 실제로 문제를 해결하는 방법을 살펴 봅니다. 내가 알 수있는 한, 문제는 문제가 NP-hard인지를 묻는 것입니다.

— András Salamon

3

NP로 표시하는 것은 상당히 쉽습니다. 어느 정사각형이 다각형의 어느면에 닿고 있는지, 어떤 정사각형이 다른 정사각형의 위 / 아래 / 왼쪽 / 오른쪽에 있는지를 알려주는 최적 패킹의 다이어그램을 가정 해 봅시다. 그런 식으로 정확하게 포장되는 사각형 세트의 좌표를 찾을 수 있는지에 대한 질문은 선형 프로그램이므로 이것이 가능한 포장에 대한 다이어그램인지 확인할 수 있습니다.

— 피터 쇼어

4

다각형의 모든 정점이 정수 (또는 합리적인) 인 경우 선형 프로그램의 표준 결과에 따르면 다항식의 추가 정밀도 이상이 필요하지 않으며 선형 프로그램은 다항식 시간으로 정확하게 풀 수 있습니다. 당신이 이미 그것을 알고 있다면 사과하지만 위의 의견에서 말할 수는 없습니다. 그렇더라도 일부 사람들은 그렇지 않습니다.

— Peter Shor

2

감사. 나는 한 번 알았지 만 상기시켜주는 것이 좋았습니다. 또한 다각형에 지수의 제곱 수를 넣을 수 있으므로 실제로 모두 나열 할 수 있는지 확실하지 않습니다. 어쩌면 이것을 해결할 수있는 스케일링이 있습니까?

— Raphael

3

@ Rafael : 나는 당신이 제곱의 수에 다항식을 가지고 있다고 가정합니다. 지수 크기 다각형을 허용하면 상황이 훨씬 까다로워집니다.

— 피터 쇼어

1

피터 쇼어 (Peter Shor)는 크기를 재조정함으로써 단위 사각형을 볼록한 다각형으로 채우는 것과 관련이 있다는 것을 관찰했습니다.

편집 :이 답변의 나머지 부분은 포장 할 모양이 모두 같은 크기라는 명시 적 요구 사항을 삭제하므로 적용되지 않습니다.

직교 패킹 문제의 특별한 경우의 관련 질문 NP-Hardness 는 첫 번째 질문에 필요한 결과를 가진 논문을 언급합니다.

사각형을 정사각형으로 포장, Joseph YT. Leung, Tommy W. Tam, CS Wong, Gilbert H. Young 및 Francis YL Chin, 병렬 및 분산 컴퓨팅 저널 10 271–275. ( 링크 )

종이에서 :

우리는 3 분할 문제를 줄임으로써 정사각형 패킹 문제가 NP가 완전히 완료되었음을 보여줍니다.

따라서 포장 할 사각형 이 컨테이너 와 유사한 특수한 경우에도 문제는 NP-hard 입니다. (이 논문의 저자 들과는 달리, 위치가 많은 정밀도로 지정되어야 할 수 있으므로 검증이 더 이상 입력 크기에서 다항식이 될 수 없기 때문에 문제가 NP에 있다고 완전히 확신하지 못합니다. )

— 안드라 살 라몬
소스

5

종이를 보면 다이어그램에서 포장 할 사각형이 모두 같은 크기가 아닌 것으로 보입니다.

— 피터 쇼어

1

@Peter : 당신이 옳습니다.이 논문은 Raphaël의 문제에 대해 아무 것도 암시하지 않습니다.

— András Salamon

0

이 백서가 도움이 될 수 있습니다.

FOCS 92에서 Kenyon & Kenyon 이 사각형 으로 다각형 타일링

— 실뱅 페이로 넷
소스

감사. 그러나 올바르게 이해하면 타일링이 다각형을 정확하게 덮습니다. 내 경우에는 거의 불가능할 것입니다 (임의의 방향으로 임의의 삼각형을 고려하십시오). 내 최적화 문제가 근본적으로 다른 것처럼 보입니다.

— Raphael

사실, 이것은 같은 문제가 아닙니다. 제 실수입니다.

— Sylvain Peyronnet

0

포장하려는 다각형이 반드시 볼록하지 않은 경우 문제가 NP-hard가된다고 생각합니다. 다음은 매우 확실한 증거입니다. 일부 Planar-3-SAT 유형 문제가 줄어 듭니다. 각 변수에 대해 1.1 x 1 자리수를 가질 수 있습니다.이 영역의 위치에 따라 하나의 사각형이 변수가 거짓인지 여부를 결정합니다. 또한 .1 영역을 왼쪽 / 오른쪽으로두면 다른 두 정사각형을 안쪽과 뒤쪽으로 조금 더 움직일 수 있으며 결국 다른 .1 여유 공간을 다른 곳에 추가하여 이제는 네 개의 사각형에 영향을 미칩니다. 각 리터럴의 발생 횟수만큼 사본을 보유한 후 이러한 튜브를 해당 절 구성 요소에 연결하고 유사한 가젯을 다시 사용하여 3 개의 들어오는 튜브에서 최소 1 개의 공간이 추가로 확보되도록합니다.

— 도모토
소스

1

그럴듯하게 들린다. Raphaël은 코멘트 maven.smith.edu/~orourke/TOPP/P56.html 에 실제 축소가 포함 된 논문에 대한 포인터와 함께 링크를 제공했습니다 .

— András Salamon

오, 나는 눈치 채지 못했다.

— domotorp