고정 모수와 근사 알고리즘의 관계

고정 파라미터와 근사치는 어려운 문제를 해결하기위한 완전히 다른 접근법입니다. 그들은 다른 동기가 있습니다. 근사는 근사 솔루션으로 더 빠른 결과를 찾습니다. 고정 매개 변수는 k의 지수 또는 일부 함수와 n의 다항 함수에서 n이 입력 크기이고 k가 매개 변수라는 점에서 시간이 복잡한 복잡한 솔루션을 찾습니다. 예 . $2^kn^3$

이제 제 질문은 어떤 상위 존재 또는 접근하거나 전혀 문제에 대한 relationship.For 예하지 않는 고정 파라미터와 근사값 사이의 관계에 기초하여 결합 된 결과 낮은 것으로 알려져 하드 일부 은 c- 근사 알고리즘 또는 PTAS와 관련이 없습니다. 몇 가지 참조를 제공하십시오 $P$ $W[i]$ $i>0$

— 프라 부
소스

관련, 가능성이 중복 : cstheory.stackexchange.com/questions/4906/...

— 수레 쉬 벤 카트

@suresh venkat이 질문은 NP-complete와 fixed parameter를 이해하는 것의 차이점에 관한 것입니다. 우리가 NP- 경도의 관점에서만 이야기 할 때, 독립된 세트와 정점 커버는 문자 그대로 동일하지만, 고정 된 매개 변수의 관점에서 이야기 할 때 그들은 큰 차이가 있습니다. 정점 표지는 좋은 fpt를 가지고 있지만 독립 세트는 W [1] 어렵다

— Prabu

그러나 여기서는 근사와 고정 매개 변수 사이의 관계를 찾고 있습니다.

— Prabu

나는 그들 사이에 실제 관계가 없다고 생각하지만 고정 된 매개 변수를 사용하면 예를 들어 bin 패킹 (makespan 스케줄링) 에서이 관계를 볼 수 있거나 예를 들어 제한된 Treewidth 그래프에서 일부 문제에 대한 근사치를 얻을 수 있습니다. .

— Saeed

답변:

매개 변수화 된 복잡성과 근사화 알고리즘 사이에는 몇 가지 연결이 있습니다.

먼저, 소위 문제의 표준 매개 변수화를 고려하십시오. 여기서 매개 변수는 문제의 최적화 버전 (정점 커버 문제의 정점 커버 크기, 트리 너비 문제의 트리 분해 너비 등)에서 최적화하는 것입니다. Vertex Cover를 구체적으로 살펴 보겠습니다. 정점 커버에 대해 정점 수가 선형 인 모든 커널은 상수 팩터 다항식 시간 근사 알고리즘을 암시합니다. 근사 솔루션에 커널 화 알고리즘으로 솔루션에 강제 된 모든 정점과 커널 인스턴스의 모든 정점을 넣습니다. . 반면 근사 계수의 하한은 커널 크기의 하한을 의미합니다. 예를 들어 Unique Games Conjecture, Khot and Regev (JCSS 2008)에서 의 비율로 버텍스 커버에 대한 근사 알고리즘을 배제하고 , 최대 버텍스가 인 버텍스 커버에 대한 커널도 배제합니다 . $c<2$ $ck$ $c<2$

편집 : 이전 단락에서 커널 하한에 대한 논쟁은 매우 비공식적이며, 내가 아는 한 커널 크기의 하한을 Vertex Cover에서도 입증 할 수 있는지 여부는 공개되어 있습니다. @Falk가 주석에서 지적했듯이, 인수는 알려진 모든 커널에 적용됩니다. 그러나 커널 화 된 인스턴스의 가능한 솔루션이 초기 인스턴스의 해당 솔루션과 다른 근사 비율을 갖는 커널 화 알고리즘의 존재를 어떻게 배제 할 수 있는지 알지 못합니다.

그러면 PTAS와 FPTAS의 문제가 있습니다. 우리가 내 해결책 찾으려면 최적의를, 우리는에 의해 매개 변수화 할 수있는 . 그런 다음 PTAS는 매개 변수화 된 설정에서 XP 알고리즘에 해당하는 반면 FPTAS는 FPT 알고리즘에 해당합니다. 근사 하한의 경우 표준 매개 변수가 W [1] -hard 인 문제에 대해 EPTAS를 기대하지 않을 수 있습니다. EPTAS를 실행하면 FPT 시간에 문제가 정확하게 해결됩니다. $(1+\epsilon)$ $1/\epsilon$ $\epsilon=1/(k+1)$

$(2^{3k+2}-1)/k$ $g(k)$ $g$ FPT 근사치에 대한 조사.

— 서지 가스 퍼
소스

@Gasper "비정형 하위 토너먼트 2 개가 주어지면 최대 비순환 하위 토너먼트 찾기"질문이 표시됩니다. 나는 여전히 내 대답에 의문을 가지고 있습니다. 관련 문제를 해결하면서 도와 드릴 수 있습니다

— Prabu

Serge의 답변의 첫 번째 단락이 맞습니까? 근사치의 하한이 커널 크기의 하한을 산출합니까? 비슷한 진술은 Niedermeier의 책에 있지만이 진술은 정확합니까?

— XXYYXX

@XXYYXX : Serge의 답변에서 그는 "Vertex Cover에 대한 정점 수의 정점을 가진 모든 커널은 상수 팩터 다항식 시간 근사 알고리즘을 암시합니다"라고 썼습니다. 보다 정확하게, 그의 주장은 상수 c에 대한 ck 꼭짓점이있는 커널이 존재하는지, factor-c 근사 알고리즘이 존재 하는지를 보여줍니다. 이에 반해, factor-c 근사 알고리즘이 존재하지 않으면 ck 꼭짓점이있는 커널이 존재하지 않는 것입니다.

— 오카모토 요시오

@Prabu : 다른 질문에 대한 귀하의 답변에 댓글을 달았습니다. @Yoshio : @XXYYXX의 질문에 답변 해 주셔서 감사합니다.

— Sage Gaspers

실제로 모든 알려진 커널 화에 대해서는이 주장이 적용됩니다. 그러나 나는 먼저 다른 문제로 줄이고, 커널 화 한 다음 다시 정점 커버로 축소하여 결과 인스턴스가 초기 인스턴스와 정점 대응하지 않는 이유가 없어야합니다. 그래서 우리가 실제로 보여줄 수있는 유일한 것은 서브 그래프 인 커널이 아마도 2k보다 작지 않을 것입니다.

— Falk Hüffner

$FPTAS$ $PFPT$

$Q=(I_Q, S_Q, f_Q, opt_Q)$ $NP$ $Q$ $FPTAS$ $Q$ $PFPT$

$PFPT$

$NP$ $Q$ $PFPT$ $O(|x|^{O(1)}k^{O(1)})$ $|x|$ $x$

두 개의 근사 클래스에 대한 또 다른 특성은 [2, 정리 6.5]에 제안되어있다.

문제는

$PTAS$ $ptas^{\infty}$ $XP^w$

$FPTAS$ $fptas^{\infty}$ $PFPT^w$

$(f)ptas^{\infty}$ $(XP)PFPT^w$ $\frac{1}{\epsilon}$

다항식 시간 근사화 체계 및 매개 변수화 된 복잡성 . J. Chen et al. / 이산 응용 수학 155 (2007) 180 – 193.
다항식 시간 근사치의 구조 . EJ van Leeuwen et al. 기술 보고서 UU-CS-2009-034, 2009 년 12 월.

— 올렉산드르 본다 렌코
소스