멀린이 아서에게 특정 금액에 대해 설득 할 수 있습니까?

무한한 계산 자원을 보유한 멀린은 Arthur에게 를위한 와 및 이 합계를 간단한 방법으로 계산하면 (모듈 지수 및 덧셈) 시간

m | \sum_{p \leq N, p prime} p^{k}

$m|\sum_{p\le N,\ p\text{ prime}}p^k$

(N, m, k)

$(N,m,k)$

k = O (\log N)

$k=O(\log N)$

m = O (N) .

$m=O(N).$

FFT 기반 곱셈의 경우 * 그러나 Arthur는

연산만 수행 할 수 있습니다.

N (\log \log N)^{2 + o (1)}

$N(\log\log N)^{2+o(1)}$

O (N)

$O(N)$

(이 질문의 이전 버전과의 호환성에 대한 표기법 : 합을 합시다 ; 그러면 문제는 가 정수 인지 여부 입니다.) $m\alpha$ $\alpha$

멀린이 아더에게 길이 의 문자열을 설득 할 수 있습니까 ? 그렇지 않다면 Arthur에게 대화 형 증거를 확신시킬 수 있습니까 물론 전체 의사 소통은 이어야 함 )? 그렇다면 Merlin은 길이 의 문자열을 사용할 수 있습니까? Arthur가 시간을 사용할 수 있습니까? $O(N)$ $O(N)$ $o(N)$ $o(N)$

Arthur는 비결 정성 또는 기타 특수 도구 (양자 방법, 멀린 이외의 오라클 등)에 액세스 할 수 없지만 필요한 경우 공간이 있습니다. 물론 Arthur는 합계를 직접 계산할 필요가 없으며 주어진 트리플 (N, m, k)이 방정식을 참 또는 거짓으로 만든다는 것을 확신해야합니다. $O(N)$

으로 유의 은 시간의 합을 계산하는 것이 가능하다 은 USING Lagarias-Odlyzko의 방법. 들면 합 superlinear하고 있으므로 (않고, 예컨대, 모듈러 감소)에 직접 저장 될 수 있지만, 고속 알고리즘이 존재하는지 명확하지 않다. $k=0$ $O(N^{1/2+\varepsilon})$ $k>0$

또한 직접 전원 공급 및 추가 이외의 합계 (모듈 식 또는 기타)를 계산하는 알고리즘에 관심이 있습니다.

* 시간을 계산하는 숫자 마다 계산한다. $N/\log N$ $\lg k\log N(\log\log N)^{1+o(1)}=\log N(\log\log N)^{2+o(1)}$

— 찰스
소스

Math.SE에 관련 포스트 .

— Hsien-Chih Chang 張顯之

그렇습니다. 중요한 차이점은 math.SE 질문은 Merlin이 계산 자원이 0이라고 가정하고 무제한 자원이 있다고 가정한다는 것입니다.

— Charles

원시성 테스트에 필요한 시간은 어떻습니까?

— Peter Shor

@ 찰스 : 나는 그것을 볼 수 없습니다

소수를 계산하기위한

스케일링. 그것을 설명 할 수 있습니까? 초 선형 스케일링이 필요하다고 생각했을 것입니다. 에라토스테네스의 체는

알고리즘을 제공합니다.

\sqrt{N}

$\sqrt{N}$

O (N^{2})

$O(N^2)$

— Joe Fitzsimons

알고리즘은 Lagarias & Odlyzko 때문입니다. 예를 들어 dtc.umn.edu/~odlyzko/doc/arch/analytic.pi.of.x.pdf에 설명 되어 있습니다 (그리고

아님)

만

O (\sqrt{N})

$O(\sqrt N)$

)

\tilde{O} (\sqrt{N}) .

$\tilde{O}(\sqrt N).$

— Charles

답변:

나는 이것이 이전의 특수 사례와 별도로 게시하고 있는데, 그것이 문제에 대한 다른 접근법이며 다른 답변과는 거의 관련이 없기 때문입니다. 그것은 당신이 찾고있는 것이 아닐 수도 있지만 간단하고 가깝습니다.

$\frac{1}{(\log \log N)^{2+o(1)}}$ $(p_i,c_i = p_i^k\mbox{ mod }m)$ $p\leq N$ $O(N/\log(N)) \times O(\log(N)) = O(N)$ $\pi(N)$ $N$ $S N$ $p$ $p_i^k \equiv c_i \mbox{ mod }m$ $SN~O((\log \log N)^{2+o(1)})$ $S = (\log \log N)^{-(2+o(1))}$ $S$ $\pi(N)$ $S$ $S$

$N$ $\frac{1}{m} = \frac{1}{O(N)}$

— 조 피츠 시몬스
소스

두 가지 답변을 게시하는 것이 좋지 않은 경우 알려 주시면 병합하겠습니다. 후자가 나에게 왔고 첫 번째 답변과 완전히 다른 테이크 인 것처럼 나는 그들을 분리시켜 두었습니다.

— Joe Fitzsimons 2014 년

난 괜찮아. 특히 CW 문제에서 여러 답변을하는 것이 일반적입니다.

— Suresh Venkat

@Suresh : 예, 알고 있습니다. 그러나 이것은 CW가 아니며 담당자 창녀가되기를 원하지 않습니다.

— Joe Fitzsimons 2014 년

Θ (N)

$\Theta(N)$

Θ (N)

$\Theta(N)$

@JoeFitzsimons : 괜찮습니다 :). 두 답변 모두 담당자가 필요하다면 더블 포인트를 받으실 수 있습니다 :)

— Suresh Venkat

이것은 Merlin을 전혀 사용하지 않는 문제에 대한 완전한 답변입니다.

$x$ $l$ $k,$ $O(x^{2/3}/\log^2x).$ $O(x^{1/2+o(1)}).$

$m.$ $q,$ $k$

\sum_{\overset{p \leq N}{p prime}} p^{k} (\mod q) .

$\sum_{\stackrel{p\le N}{p\text{ prime}}}p^k\pmod q.$

중국 나머지 정리를 사용하여 합계 모드 의 값을 결정하십시오 $2\cdot3\cdots\log m.$

소수 법칙에 의해 필요한 최대 소수는 이므로 시간의 합은 $(1+o(1))\log m,$ $O(N^{1/2+o(1)}).$

참고 문헌

[1] 마크 Deléglise, 피에르 듀 사트 및 자이-리크 Roblot, 잔류 수업 카운팅 소수 , 연산 수학 73 :. 247 (2004), PP 1565년에서 1575년까지. 도이 10.1.1.100.779

[2] JC Lagarias 및 AM Odlyzko, 컴퓨팅 : 분석 방법 $\pi(x)$ , Journal of Algorithms 8 (1987), pp. 173-191.

[3] Charles, MathOverflow에 답하십시오 . (예, 이것은 같은 사람입니다. 다른 접근법에 대해서는 다른 답변을 참조하십시오.)

— 찰스
소스

이것은 완전한 답변이 아니라 원래 의견으로 게시 한 특별한 경우 ( 당신이 생각하는 것보다 큰 값)입니다 . 경우에서 (어떤 정수에 대한 ) 간단한 증거가 멀린 문자열의 길이가 0이 될 수있다. $k$ $k=x \phi(m)$ $x$

이를 위해 Arthur는 단순히 계산 합니다. 이것은 을 인수 분해하여 수행 할 수 있습니다 ( 시행 분할을 사용하더라도 에서 시간 서브 라인으로 수행 할 수 있음 ). 사람 모든 및 , 그렇지 않은 경우, 그러면 . 여기서 는 고유 한 숫자입니다. 소수입니다 . 주석 섹션에서 지적 의 시간 sublinear 계산 될 수 $\phi(m)$ $m$ $N$ $p^{x \phi(m)} \equiv 0 \mbox{ mod } m$ $p|m$ $p^{x \phi(m)} \equiv 1 \mbox{ mod } m$ $k=x \phi(m)$ $\sum_{p \leq N, p~prime} p^{k} \equiv \pi(N) - y \mbox{ mod } m$ $y$ $m$ $\pi(N)$ $N$ 따라서이 합계는 Arthur가 직접 계산할 수 있습니다.

또한 특수한 경우 합계는 과 같이 와 같을 수 없습니다 . $1<N<m$ $m\alpha$ $1<\pi(N)<m$

— 조 피츠 시몬스
소스