그래프에서 하이퍼 그래프로 전환하는 데 근본적인 어려움은 무엇입니까?

결합 론과 컴퓨터 과학에는 그래프 이론적 문제를 분석 할 수있는 많은 예가 있지만 문제의 초고도 아날로그의 경우 도구가 부족합니다. 왜 2-uniform 그래프보다 3-uniform 하이퍼 그래프보다 문제가 훨씬 더 어려워 진다고 생각합니까? 근본 어려움은 무엇입니까?

한 가지 문제는 아직까지도 우리가 스펙트럼 자서전 이론에 대한 충분한 이해를 가지고 있지 않다는 것입니다. 이 문제에 대해 더 많은 것을 밝히십시오. 그러나 나는 또한 초인종 사진을 더 어렵게 만드는 다른 이유를 찾고 있습니다.

이 질문에서 나는 "난이도"는 "계산하기 어렵다"가 아니라 "연구하기 어렵다"는 것을 이해한다.

일부 개념은 동일하기 때문에 그래프 문제는 (적어도 나에게는) 연구하기가 더 쉽습니다. 다시 말해서 그래프에 대한 질문을 자서전 질문에 대한 질문으로 일반화하려면 원하는 결과를 얻을 수 있도록 "올바른"일반화에주의를 기울여야합니다.

예를 들어, 나무를 생각해보십시오. 그래프의 경우 그래프는 연결되어 있고주기가없는 트리입니다. 이것은 연결되어 n-1 모서리 (여기서 n은 꼭짓점의 수임)를 갖는 것과 동일하며 사이클을 포함하지 않고 n-1 모서리를 갖는 것과 같습니다. 그러나 3- 균일 하이퍼 그래프의 경우, 3- 균일 하이퍼 그래프가 연결되어 있고주기가없는 경우 트리라고 가정 해 봅시다. 그러나 이것은 연결되어 n-1 하이퍼에지가 있거나 사이클이없고 n-1 하이퍼에지가있는 것과 같습니다.

균일 한 자서전의 규칙 성 정리를 입증하기위한 주요 어려움은 규칙 성 및 관련 개념에 대한 올바른 정의를 도출하는 것이 었습니다.

"스펙트럼 하이퍼 그래프 이론"을 고려할 때 k- 균일 하이퍼 그래프를 선형 대수가 자연적으로 발생하는 (k-1) 차원 단순 복합물로 볼 경우 텐서 또는 상 동성을 살펴볼 수 있습니다. 나는 당신의 목적에 맞는 "올바른"일반화를 모릅니다.

필자는 이것이 Lawler의 "이원의 신비한 힘"(param = 2의 경우 P에 있고 param≥3의 경우 NP- 완료에 대한 많은 매개 변수화 된 문제)에 기인한다고 생각합니다. 그래프는 2 개의 튜플 정점을 연결하는 것으로, 하이퍼 그래프는 k≥3의 정점을 연결하는 것입니다.

예를 들어 2-SAT는 P에 있고 본질적으로 그래프 문제인 반면 3-SAT는 3- 균일 한 하이퍼 그래프에서 문제이며 NP- 완료입니다.

또 다른 이유는 2보다 큰 n에 대한 다른 n-ary 관계보다 이진 관계에 대한 지식이 훨씬 많기 때문입니다 .

당연히 우리는 인접성, 비어 있지 않은 교점, 등가와 같은 객체 간의 이진 관계를 고려합니다. 따라서 이진 관계로 그래프를 정의하고 다른 그래프의 일부 이진 관계를 기반으로 그래프를 정의 할 수도 있습니다. (예를 들어, 선 그래프, 클리크 트리, 트리 분해 등)

그러나 다른 n-ary 관계에 대해서는 이해가 부족합니다. 예를 들어, 흥미로운 삼항 관계를 만드는 데 시간이 걸립니다. 삼자 관계 연구에서 속성은 약하고 도구는 훨씬 적습니다. (우리는 대칭 또는 전이 삼항 관계를 어떻게 정의 합니까? 둘 다 연구 할 수있는 가장 중요한 관계 중 하나입니다.)

그러나 여전히 이진 관계와 삼진 관계 사이에 왜 이런 일이 발생하는지 모르겠습니다. 터키가 말했듯이이 질문은 어렵고 P / NP 문제의 이해와 관련이있을 수 있습니다.

나는 먼저 잘못된 질문에 대답하려고했다 : "그래프보다 하이퍼 그래프에서 어떤 문제의 예가 훨씬 어렵다". 나는 그래프에서 최대 매칭 문제를 처리하는 차이와 특히 그림, 최대 독립 세트, 최대 경사를 모델링 할 수있는 하이퍼 그래프 (쌍으로 분리 된 가장자리 세트)와 동일한 점에 깊은 인상을 받았습니다 ...

그때 나는 그것이 당신의 질문이 아니라는 것을 알아 차 렸습니다 : "두 사람 사이의 근본적인 어려움은 무엇입니까?".

글쎄, 나는 지금까지 그래프와 하이퍼 그래프 사이에 많은 공통점을 보지 못했다고 대답 할 것입니다. 이름 자체를 제외하고. 그리고 많은 사람들이 처음부터 다른쪽으로 결과를 "확장"하려고한다는 사실.

나는 Berge의 "Hypergraphs"와 Bollobas의 "Set systems"의 페이지를 넘길 수있는 기회를 가졌습니다. 많은 맛있는 결과가 포함되어 있습니다. 예를 들어 Baranyai의 정리 (Jukna의 책에는 좋은 증거가 있습니다).

나는 그것들을 많이 알지 못하지만 지금은 하이퍼 그래프 문제에 대해 생각하고 있으며 그것에 대해 말할 수있는 것은 어디에서나 숨어있는 그래프를 느끼지 않는다는 것입니다. 아마도 우리는 그것들을 잘못된 도구로 연구하려고하기 때문에 그것들을 "어려운"것으로 생각할 것입니다. 나는 숫자 이론을 사용하여 (때로는 발생하지만) 내가 노력하고있는 그래프 문제가 즉시 사라질 것으로 기대하지 않습니다.

아, 그리고 다른 것. 그들은 조합 적으로 많이 있기 때문에 아마도 공부하기가 더 어려울 것입니다 .... 더?!

"모두 시도하고 작동하는시기를보십시오"는 때때로 그래프에 대한 좋은 아이디어이지만, 하이퍼 그래프를 사용하면 숫자에 의해 빠르게 낮아집니다. :-)