직사각형 행렬의 순위를 계산하는 가장 빠른 알고리즘은 무엇입니까?

주어 행렬 (가정 , 컬럼의 랭크 및 기준을 계산하는 가장 빠른 알고리즘이 무엇인가)?$m \times n$$m \ge n$

선형 Matroid 교차를 통해 해결할 수 있다는 것을 알고 있습니다 .O 시간 결정 알고리즘과 시간 무작위 알고리즘을 의미합니다. 거기에 보다 직접적 행렬 곱셈에 문제 (또는 가우스 소거법)를 감소하는 시간 결정적 알고리즘?$O(mn^{1.62})$$O(mn^{\omega-1})$$O(mn^{\omega-1})$

당신은 가져올 수 시간에 쉴론 형태로 -matrix O를 ( N ω + ε ) 어떤을 위해 ε > 0 . Bürgisser, Clausen, Shokrollahi, Section 16.5의 "대수 복잡성 이론"책을 참조하십시오.$2n \times n$$O(n^{\omega + \epsilon})$$\epsilon > 0$

이제이 절차 를 m × n 행렬에 번 적용합니다 . 이것은 O ( m n ω - 1 ) 산술 연산을 가진 알고리즘을 제공합니다 .$m/n$$m \times n$$O(mn^{\omega-1})$

행렬을에 켈론 형태로 가져 오면 나중에 n x n 크기의 0 행렬이 포함 됩니다. 나머지 n × n- 행렬을 취하고, 입력 행렬의 새로운 n x n- 블록을 추가 한 후이를에 첼론 형식으로 만듭니다.$2n \times n$$n \times n$$n \times n$$n \times n$

우리는의 랭크 계산할 수 $m \times n$ 의 행렬 A $\tilde{O}(\textrm{nnz}(A) + r^{\omega})$ 시간 $\textrm{nnz}(A)$ 의 0이 아닌 항목의 개수 $A$ 그리고 $r$ 계급 인 $A$ . 이것은 Cheung et. 알. [CKL'13] 및 $r$ 이진 검색 . 이것은 위에서 언급 한 $O(mn^{\omega-1})$ 알고리즘 보다 빠릅니다 .